На рисунке изображён четырёхугольник PDQB. Известны длины трёх его сторон: BP = 7, PD = 10, DQ = 7. Кроме того, известно, что ∠PBD = ∠BDQ. Найти периметр четырёхугольника PDQB.

Для нахождения периметра четырехугольника $PDQB$ нам необходимо знать длины всех его сторон: $BP$, $PQ$, $QD$ и $DP$. Нам известны: $BP=7$, $PD=10$, $DQ=7$. Осталось найти $PQ$. 1. Рассмотрим треугольники $\triangle PBD$ и $\triangle BDQ$. - Сторона $BD$ у них общая. - По условию $BP = DQ = 7$. - По условию $\angle PBD = \angle BDQ$. 2. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (по I признаку равенства треугольников). 3. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, а именно $PD = BQ$. Так как $PD = 10$, то и $BQ = 10$. 4. Однако нам нужно найти сторону $PQ$. В четырехугольнике $PDQB$ стороны $BP$ и $DQ$ параллельны, так как накрест лежащие углы при секущей $BD$ равны ($\angle PBD = \angle BDQ$). Если в четырехугольнике пара сторон параллельна и равна (здесь $BP=DQ=7$), то это параллелограмм. Значит, $PQ = BD$ и $PD = BQ = 10$. Но сторона $BD$ нам неизвестна. 5. Перечитаем условие. Треугольники $\triangle PBD$ и $\triangle BDQ$ имеют общую сторону $BD$. Если $\angle PBD = \angle BDQ$, то стороны $BP$ и $DQ$ параллельны (накрест лежащие углы). Так как $BP=DQ=7$, то $PDQB$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит $PQ = BD$. Стороны параллелограмма $PDQB$ равны $BP=7$ и $PD=10$. Периметр $P = 2 \cdot (BP + PD) = 2 \cdot (7 + 10) = 2 \cdot 17 = 34$. Ответ: 34.