1. В трапеции ABCD BC — меньшее основание. На отрезке AD взята точка E так, что BE || CD, ∠ABE = 70°, ∠BEA = 50°. Найдите углы трапеции.

1. 1) В треугольнике $\triangle ABE$ сумма углов равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle A = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 50^{\circ}) = 60^{\circ}$. Это первый угол трапеции. 2) Так как $BC \parallel AD$, сумма углов при боковой стороне равна $180^{\circ}$. Значит, $\angle B = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. 3) Так как $BC \parallel AD$ и по условию $BE \parallel CD$, то четырёхугольник $BCDE$ — параллелограмм. Следовательно, $\angle BCD = \angle BED$. 4) Угол $\angle BED$ смежный с углом $\angle BEA$, поэтому $\angle BED = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}$. Значит, $\angle C = 130^{\circ}$. 5) Сумма углов трапеции $360^{\circ}$. Находим последний угол: $\angle D = 360^{\circ} - (60^{\circ} + 120^{\circ} + 130^{\circ}) = 50^{\circ}$. Ответ: $60^{\circ}, 120^{\circ}, 130^{\circ}, 50^{\circ}$. 2. 1) Обозначим трапецию $ABCD$, где $\angle A = \angle B = 90^{\circ}$ (прямоугольная). Высота $AB = 10$ см, меньшее основание $BC = 10$ см. 2) Опустим высоту $CH$ на основание $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$, где $AH = BC = 10$ см и $CH = AB = 10$ см. 3) В прямоугольном треугольнике $\triangle CHD$ угол $D = 45^{\circ}$, значит $\angle HCD = 45^{\circ}$, и треугольник равнобедренный. Следовательно, $HD = CH = 10$ см. 4) Большее основание $AD = AH + HD = 10 + 10 = 20$ см. Ответ: $20$ см.