В треугольнике ABC медианы CD и BE пересекаются в точке K. Найдите площадь четырехугольника ADKE, если BC = 20, AC = 12, ∠ACB = 135°.

Решение задач: 1. Дано: треугольник ABC, медианы CD и BE пересекаются в K, BC=20, AC=12, ∠ACB=135°. Площадь треугольника ABC: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(135^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 60\sqrt{2}$. Точка K — центроид треугольника. Площадь четырехугольника ADKE составляет 1/3 от площади всего треугольника (так как $S_{AKE} = \frac{1}{6}S_{ABC}$ и $S_{AKD} = \frac{1}{6}S_{ABC}$). $S_{ADKE} = \frac{1}{3} \cdot 60\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$. 2. Дано: треугольник CDE, CE=b, ∠C=α, ∠D=β. Точка P на CE, ∠DPE=γ. Найти DP. По теореме синусов для треугольника CDE: $\frac{DE}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} \Rightarrow DE = \frac{b \sin \alpha}{\sin \beta}$. В треугольнике DPE угол E равен $180^\circ - (\alpha + \beta)$. Угол PDE равен $180^\circ - \gamma - (180^\circ - \alpha - \beta) = \alpha + \beta - \gamma$. По теореме синусов для треугольника DPE: $\frac{DP}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))} = \frac{DE}{\sin \gamma} \Rightarrow DP = \frac{DE \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin \gamma}$. Подставляя DE: $DP = \frac{b \sin \alpha \sin(\alpha + \beta)}{\sin \beta \sin \gamma}$. 3. Дано: параллелограмм ABCD, AB=6, AD=8, AC=2√13. Найти BD. Используем свойство параллелограмма (сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон): $2(AB^2 + AD^2) = AC^2 + BD^2$. $2(6^2 + 8^2) = (2\sqrt{13})^2 + BD^2$. $2(36 + 64) = 52 + BD^2$. $200 = 52 + BD^2 \Rightarrow BD^2 = 148$. $BD = \sqrt{148} = \sqrt{4 \cdot 37} = 2\sqrt{37}$.