1. Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке O, ∠MON = 64°. Найдите угол OMP.

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник MON — равнобедренный (OM = ON). Сумма углов треугольника равна 180°. Угол MON = 64°. Углы при основании равны: $\angle OMN = \angle ONM = (180° - 64°) / 2 = 116° / 2 = 58°$. Угол OMP — это смежный угол к углу OMN (или, если рассматривать диагонали, $\angle OMP = \angle OPN$ как накрест лежащие, или просто через свойства равнобедренного треугольника MOP, где OP=OM). Проще: в прямоугольнике $\angle PMN = 90°$. Тогда $\angle OMP = 90° - \angle OMN = 90° - 58° = 32°$. 2. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший угол равен $x + 30°$. У равнобедренной трапеции углы при основании равны. Сумма углов при боковой стороне трапеции равна 180°. Значит, $x + (x + 30°) = 180°$. Решаем: $2x + 30° = 180°$, $2x = 150°$, $x = 75°$. Меньшие углы равны 75°, а большие (смежные с ними) $75° + 30° = 105°$. Ответ: 75°, 75°, 105°, 105°. 3. Пусть стороны параллелограмма равны $3x$ и $1x$. Периметр $P = 2(a + b)$. $40 = 2(3x + x)$, $20 = 4x$, $x = 5$. Стороны равны: $3 \times 5 = 15$ и $1 \times 5 = 5$. Ответ: 5 см и 15 см. 4. В прямоугольной трапеции один из углов при боковой стороне (неперпендикулярной основаниям) всегда равен $180° - \alpha$, где $\alpha$ — острый угол. Разность углов при боковой стороне равна 48°. Пусть углы $\alpha$ и $\beta$. Так как сумма $180°$, а разность $48°$: $\alpha + \beta = 180°$ и $\beta - \alpha = 48°$. Сложим уравнения: $2\beta = 228°$, $\beta = 114°$. Тогда $\alpha = 114° - 48° = 66°$. Углы при основаниях: 90°, 90°, 66°, 114°.