1°. Используя рисунок, укажите верные утверждения:

1. Верные утверждения: 1 и 2. Разбор: 1) $\angle AKD$ и $\angle BKE$ являются смежными, так как имеют общую вершину $K$, общую сторону $KE$ (точнее, они образуют развернутый угол с прямой $AB$, но тут более точно сказать, что $A, K, B$ лежат на одной прямой, а $D, K, E$ на другой, так что это вертикальные углы? Нет, $AKD$ и $BKE$ — вертикальные, $AKD$ и $AKE$ — смежные. По рисунку $A, K, B$ — прямая, $D, K, E$ — прямая. Тогда $\angle AKD$ и $\angle BKE$ — вертикальные. $\angle BKD$ и $\angle AKE$ тоже вертикальные. А $\angle AKD$ и $\angle AKE$ — смежные. В условии 1 сказано: $\angle AKD$ и $\angle BKE$ — смежные. Это ложь, они вертикальные. Утверждение 2: $\angle BKD$ и $\angle AKE$ — вертикальные. Это истина. Утверждение 3: $\angle AKE$ — тупой угол. По рисунку он больше 90 градусов (видно, что он больше прямого угла $\angle AKD$), так как $\angle AKD=90^\circ$. $\angle AKE > 90^\circ$, значит, тупой. Верно. Утверждение 4: $\angle BKE$ — прямой угол. Это ложь, $\angle BKE = \angle AKD = 90^\circ$ (как вертикальные), но $90^\circ$ — это прямой угол. Так что это утверждение верно. Итого: верные 2, 3, 4. 2. Так как $BC$ — биссектриса, то она делит угол пополам. $\angle KBC = \angle MBK / 2 = 162^\circ / 2 = 81^\circ$. Ответ: $81^\circ$. 3. На рисунке точки $B, M, D$ лежат на одной прямой. $\angle BMC$ и $\angle CMD$ — смежные углы. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. $\angle CMD = 180^\circ - \angle BMC = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$. Ответ: $122^\circ$. 4. Пусть $DM = x$ см, тогда $BM = x + 12$ см. Сумма $BM + DM = BD = 34$. $x + 12 + x = 34$ $2x = 34 - 12$ $2x = 22$ $x = 11$. $DM = 11$ см, $BM = 11 + 12 = 23$ см. Ответ: $BM = 23$ см, $DM = 11$ см. 5. Точки $A, B, C$ лежат на прямой. Допустим, порядок точек $A-B-C$. $AB = 3 \cdot BC$. $AC = AB + BC = 3 \cdot BC + BC = 4 \cdot BC$. $4 \cdot BC = 24$, значит $BC = 6$ см. $AB = 3 \cdot 6 = 18$ см. Ответ: $18$ см.