Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби: а) 324/432; б) 225/275; в) 414/304; г) 575/825.

Решение заданий по математике: **2.62. Наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя:** а) $324 = 2^2 \cdot 3^4$, $432 = 2^4 \cdot 3^3$. НОД$(324, 432) = 2^2 \cdot 3^3 = 4 \cdot 27 = 108$. б) $225 = 3^2 \cdot 5^2$, $275 = 5^2 \cdot 11$. НОД$(225, 275) = 5^2 = 25$. в) $414 = 2 \cdot 3^2 \cdot 23$, $504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7$. НОД$(414, 504) = 2 \cdot 3^2 = 18$. г) $575 = 5^2 \cdot 23$, $825 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11$. НОД$(575, 825) = 5^2 = 25$. **2.63. НОД чисел:** а) $45 = 3^2 \cdot 5$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $105 = 3 \cdot 5 \cdot 7$. НОД$(45, 60, 105) = 3 \cdot 5 = 15$. б) $162 = 2 \cdot 3^4$, $222 = 2 \cdot 3 \cdot 37$, $432 = 2^4 \cdot 3^3$. НОД$(162, 222, 432) = 2 \cdot 3 = 6$. в) $108 = 2^2 \cdot 3^3$, $72 = 2^3 \cdot 3^2$, $96 = 2^5 \cdot 3$. НОД$(108, 72, 96) = 2^2 \cdot 3 = 12$. г) $240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5$, $480 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5$, $720 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$. НОД$(240, 480, 720) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 240$. **2.64. НОД чисел:** а) $35 = 5 \cdot 7$, $39 = 3 \cdot 13$. НОД$(35, 39) = 1$. б) $79, 97$ — простые числа. НОД$(79, 97) = 1$. в) $44 = 2^2 \cdot 11$, $21 = 3 \cdot 7$, $5$ — простое. НОД$(44, 21, 5) = 1$. г) $15 = 3 \cdot 5$, $26 = 2 \cdot 13$, $77 = 7 \cdot 11$. НОД$(15, 26, 77) = 1$. **2.65. Взаимно простые числа (НОД = 1):** а) $45$ и $50$ (НОД=5) — нет. б) $99 = 3^2 \cdot 11$, $40 = 2^3 \cdot 5$. НОД=1 — **да**. в) $15 = 3 \cdot 5$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $47$ (простое). Не взаимно простые. г) $249 = 3 \cdot 83$, $310 = 2 \cdot 5 \cdot 31$. НОД=1 — **да**. **2.66. Пары взаимно простых чисел из {6, 15, 30, 77}:** Пары: $(6, 77)$, $(15, 77)$. **2.67. Правильные дроби со знаменателем 16, числитель и знаменатель взаимно просты:** Это дроби, где числитель и 16 не имеют общих множителей (кроме 1). Числа до 16, не делящиеся на 2: $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$. Ответ: $\frac{1}{16}, \frac{3}{16}, \frac{5}{16}, \frac{7}{16}, \frac{9}{16}, \frac{11}{16}, \frac{13}{16}, \frac{15}{16}$.