1. Диагонали прямоугольника MNKR пересекаются в точке O, $\angle MON = 64^\circ$. Найдите угол ОМР.

1. В прямоугольнике MNKR диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. $\triangle MON$ — равнобедренный ($MO=ON$), углы при основании равны: $\angle OMN = \angle ONM = (180^\circ - 64^\circ) / 2 = 58^\circ$. Угол прямоугольника равен $90^\circ$, тогда $\angle OMP = 90^\circ - 58^\circ = 32^\circ$. Ответ: $32^\circ$. 2. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Пусть один угол $x$, тогда второй $x+30^\circ$. $x + x + 30^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2x = 150^\circ \Rightarrow x = 75^\circ$. Углы трапеции: $75^\circ, 105^\circ, 105^\circ, 75^\circ$. 3. Пусть стороны параллелограмма $3x$ и $x$. Периметр равен $2(3x + x) = 8x$. По условию $8x = 40 \Rightarrow x = 5$ см. Стороны: $15$ см и $5$ см. 4. В прямоугольной трапеции два угла равны $90^\circ$. Сумма углов при боковой стороне равна $180^\circ$. Пусть углы $\alpha$ и $\beta$. Их разность $48^\circ$, сумма $180^\circ$. $180^\circ - 2\alpha = 48^\circ \Rightarrow 2\alpha = 132^\circ \Rightarrow \alpha = 66^\circ$. Второй угол $180^\circ - 66^\circ = 114^\circ$. Углы трапеции: $90^\circ, 90^\circ, 66^\circ, 114^\circ$. 5. В ромбе $ABCD$ угол $\angle ABM = 30^\circ$, значит $\angle A = 60^\circ$ (в прямоугольном $\triangle ABM$). Так как $\angle A = 60^\circ$, ромб состоит из двух равносторонних треугольников, сторона ромба $AB = AC = 6$ см. $AM$ — катет прямоугольного $\triangle ABM$ (лежащий против угла $30^\circ$), $AM = AB \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot 0.5 = 3$ см. Ответ: $3$ см.