1088 На рисунке 311, б изображён правильный треугольник, вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки (a3 — сторона треугольника, P — периметр треугольника, S — его площадь, r — радиус вписанной окружности).

Для правильного треугольника справедливы следующие формулы, где $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, $a_3$ — сторона треугольника, $P$ — периметр, $S$ — площадь: - $r = \frac{R}{2}$ - $a_3 = R\sqrt{3}$ - $P = 3a_3 = 3R\sqrt{3}$ - $S = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(R\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3R^2\sqrt{3}}{4}$ Вычисления для каждой строки: 1. $R = 3$: $r = 3/2 = 1{,}5$; $a_3 = 3\sqrt{3}$; $P = 9\sqrt{3}$; $S = \frac{3 \cdot 3^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4} = 6{,}75\sqrt{3}$. 2. $r = 2$: $R = 2r = 4$; $a_3 = 4\sqrt{3}$; $P = 12\sqrt{3}$; $S = \frac{3 \cdot 4^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$. 3. $a_3 = 5$: $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$; $r = \frac{R}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{6}$; $P = 3 \cdot 5 = 15$; $S = \frac{5^2\sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4} = 6{,}25\sqrt{3}$. 4. $P = 6$: $a_3 = P/3 = 2$; $R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$; $r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$; $S = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$. 5. $S = 10$: $10 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4} \Rightarrow a_3^2 = \frac{40}{\sqrt{3}} \Rightarrow a_3 = \sqrt{\frac{40}{\sqrt{3}}}$. $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{40}{3\sqrt{3}}}$; $r = \frac{R}{2}$. $P = 3a_3$. | N | R | r | a_3 | P | S | |---|---|---|---|---|---| | 1 | 3 | 1,5 | 3√3 | 9√3 | 6,75√3 | | 2 | 4 | 2 | 4√3 | 12√3 | 12√3 | | 3 | 5√3/3 | 5√3/6 | 5 | 15 | 6,25√3 | | 4 | 2√3/3 | √3/3 | 2 | 6 | √3 | | 5 | ≈2,77 | ≈1,39 | ≈4,8 | ≈14,4 | 10 |