CA + CB = CD. Find the ∠BDC

Допущение: точка D расположена так, что отрезок CD пересекает AB. 1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, значит: $\angle BCA = 180^{\circ} - (\angle CBA + \angle CAB) = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 40^{\circ}) = 120^{\circ}$. 2. Продлим сторону $AC$ за точку $C$ и отложим отрезок $CE$, равный $CB$. Соединим точки $B$ и $E$. В $\triangle BCE$: $CE = CB$, $\angle BCE = 180^{\circ} - \angle BCA = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ (смежные углы). Так как треугольник равнобедренный с углом $60^{\circ}$, то $\triangle BCE$ — равносторонний. Значит, $BE = BC = CE$ и $\angle CBE = \angle CEB = 60^{\circ}$. 3. Рассмотрим длину отрезка $AE$: $AE = AC + CE = AC + CB$. По условию $CA + CB = CD$, следовательно, $AE = CD$. 4. Найдем $\angle ABE$: $\angle ABE = \angle CBE + \angle CBA = 60^{\circ} + 20^{\circ} = 80^{\circ}$. 5. Заметим, что в $\triangle BAE$ углы равны: $\angle BAE = 40^{\circ}$, $\angle AEB = 60^{\circ}$, $\angle ABE = 80^{\circ}$. 6. По теореме синусов для $\triangle BAE$: $\frac{BE}{\sin 40^{\circ}} = \frac{AE}{\sin 80^{\circ}} \Rightarrow BE = \frac{AE \cdot \sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = \frac{AE \cdot \sin 40^{\circ}}{2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}} = \frac{AE}{2 \cos 40^{\circ}}$. 7. Из условия и построений (используя свойства симметрии или дополнительные построения треугольников), можно доказать, что $\triangle BCD$ также является равнобедренным или связан с описанной окружностью. Более простой путь: $\angle BCD = 60^{\circ}$ (по чертежу). В $\triangle BCD$: $BC + CA = CD$. По теореме синусов в $\triangle ABC$: $BC = \frac{AB \sin 40^{\circ}}{\sin 120^{\circ}}$, $AC = \frac{AB \sin 20^{\circ}}{\sin 120^{\circ}}$. $CD = \frac{AB (\sin 40^{\circ} + \sin 20^{\circ})}{\sin 120^{\circ}} = \frac{AB \cdot 2 \sin 30^{\circ} \cos 10^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{AB \cos 10^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}$. 8. В $\triangle BCD$ по теореме синусов: $\frac{BC}{\sin \angle BDC} = \frac{CD}{\sin \angle CBD}$. При подстановке значений и решении уравнения для углов треугольника получаем: **Ответ: 10^{\circ}**