225. Упростите выра

Упростим выражения, используя основные тригонометрические тождества. а) $\frac{\cos^2 \alpha - \operatorname{ctg}^2 \alpha}{\operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha}$ Преобразуем числитель и знаменатель, выразив котангенс и тангенс через синус и косинус: $\operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$, $\operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}$. Числитель: $\cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \cos^2 \alpha \cdot (1 - \frac{1}{\sin^2 \alpha}) = \cos^2 \alpha \cdot (\frac{\sin^2 \alpha - 1}{\sin^2 \alpha}) = \cos^2 \alpha \cdot \frac{-\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = -\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}$ Знаменатель: $\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha = \sin^2 \alpha \cdot (\frac{1}{\cos^2 \alpha} - 1) = \sin^2 \alpha \cdot (\frac{1 - \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}) = \sin^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha}$ Делим числитель на знаменатель: $\frac{-\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} : \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} = -\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^4 \alpha} = -\frac{\cos^6 \alpha}{\sin^6 \alpha} = -\operatorname{ctg}^6 \alpha$ б) $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \operatorname{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha$ Заметим, что $\frac{1}{\cos^2 \alpha} - \operatorname{tg}^2 \alpha = 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha - \operatorname{tg}^2 \alpha = 1$. Тогда выражение принимает вид: $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$ Ответ: а) $-\operatorname{ctg}^6 \alpha$; б) $\cos^2 \alpha$.