Квадратные уравнения: формула через $D_1 = D/4$, теорема Виета

### Часть 1. Решите уравнения 1. $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета: $x_1+x_2=6, x_1 \cdot x_2=8$. Корни: **2 и 4**. 2. $3x^2 - 14x + 8 = 0$. $D = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8 = 196 - 96 = 100$. $x_{1,2} = \frac{14 \pm 10}{6}$. $x_1=4, x_2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$. 3. $2x^2 + 3x - 5 = 0$. По сумме коэффициентов ($2+3-5=0$), $x_1=1$, $x_2=\frac{c}{a}=-\frac{5}{2}=-2,5$. 4. $9x^2 - 6x - 8 = 0$. $D_1 = (-3)^2 - 9(-8) = 9+72=81$. $x = \frac{3 \pm 9}{9}$. $x_1=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}, x_2=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}$. 5. $x^2 + 4x + 7 = 0$. $D = 16 - 28 = -12 < 0$. **Корней нет**. ### Часть 2. Решите уравнения 6. $-x^2 + 16x - 63 = 0 \Rightarrow x^2 - 16x + 63 = 0$. Корни: $x_1=7, x_2=9$. 7. $5x^2 - 6x + 1 = 0$. По сумме коэффициентов ($5-6+1=0$), $x_1=1, x_2=\frac{1}{5}=0,2$. 8. $(x+2)(x-3)=6 \Rightarrow x^2-x-6=6 \Rightarrow x^2-x-12=0$. Корни: $x_1=4, x_2=-3$. 9. $0,2x^2 + 1,2x - 3,2 = 0$. Умножим на 5: $x^2 + 6x - 16 = 0$. Корни: $x_1=-8, x_2=2$. 10. $4x^2 + 4x - 15 = 0$. $D_1 = 2^2 - 4(-15) = 4 + 60 = 64$. $x = \frac{-2 \pm 8}{4}$. $x_1=1,5, x_2=-2,5$. ### Часть 3. Теорема Виета 11. а) $x^2 - 9x + 20 = 0 \Rightarrow x_1=4, x_2=5$; б) $x^2 + x - 30 = 0 \Rightarrow x_1=-6, x_2=5$. 12. $x_1=3$. По Виету $x_1 \cdot x_2 = -12 \Rightarrow 3 \cdot x_2 = -12 \Rightarrow x_2=-4$. $p = -(x_1+x_2) = -(3-4) = 1$. Ответ: $x_2=-4, p=1$. 13. $x_1+x_2 = 7$; $x_1 \cdot x_2 = 4$; $x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 7^2 - 2(4) = 49 - 8 = 41$. 14. а) $3x^2 - 12x + 5 = 0 \Rightarrow x_1+x_2 = -(-12)/3 = 4$; б) $x^2 + 4x + 9 = 0 \Rightarrow x_1+x_2 = -4$. 15. $(x - x_1)(x - x_2) = 0 \Rightarrow (x - (-3))(x - 7) = (x+3)(x-7) = x^2 - 4x - 21 = 0$. ### Часть 4. Геометрия 16. Верные утверждения: 1) Да (верно). 2) Да (ромб с прямым углом — квадрат). 3) Нет (для тупоугольного треугольника центр описанной окружности лежит вне треугольника). Ответ: 12