Question

Докажите, что в любом треугольнике радиус R описанной окружности, радиус r вписанной окружности и расстояние d между центрами этих окружностей связаны равенством d^2 = R^2 - 2Rr (формула Эйлера).

Accepted Answer

Для доказательства теоремы Эйлера $d^2 = R(R - 2r)$ воспользуемся свойствами треугольника и окружностей.

Пусть $O$ — центр описанной окружности радиуса $R$, а $I$ — центр вписанной окружности радиуса $r$. Проведем прямую через точки $O$ и $I$ до пересечения с описанной окружностью в точках $M$ и $N$. Тогда $MN = 2R$. Расстояние между центрами обозначим $OI = d$.

1. Используем свойство произведения отрезков хорд $MN$ и $AB$ (если $AB$ — хорда, проходящая через $I$): $MI \cdot IN = AI \cdot ID'$, где $D'$ — точка пересечения продолжения отрезка $AI$ с описанной окружностью. Но $MI = R+d$ и $IN = R-d$, значит, $MI \cdot IN = R^2 - d^2$.

2. По лемме о «трезубце» (лемма о трилистнике): если $AI$ пересекает описанную окружность в точке $L$ (середина дуги $BC$), то $LB = LC = LI$. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом вписанной окружности и биссектрисой, можно показать, что $AI = r / \sin(A/2)$.

3. Из подобия треугольников или используя теорему синусов, можно установить, что произведение $AI \cdot ID'$ равно $2Rr$.

Следовательно:
$R^2 - d^2 = 2Rr$
$d^2 = R^2 - 2Rr$

Что и требовалось доказать.

Ответ ассистента

Другие решения