Сумма двух углов при основании равнобедренной трапеции равна 50°. Найдите больший угол этой трапеции.

### Решение заданий **1. Сумма углов при основании равнобедренной трапеции** * У равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Пусть угол при нижнем основании равен $\alpha$, тогда сумма двух углов при нижнем основании равна $2\alpha = 50^\circ$. Следовательно, каждый угол при нижнем основании равен $\alpha = 25^\circ$. * Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Значит, угол при верхнем основании равен $180^\circ - 25^\circ = 155^\circ$. * **Ответ:** 155°. **2. Периметр равнобедренной трапеции** * Основания $a=12$, $b=27$. Острый угол $\angle A = 60^\circ$. * Проведем две высоты из вершин $B$ и $C$ к основанию $AD$. Они отсекают на большем основании $AD$ отрезок, равный меньшему основанию $12$, и два равных отрезка по бокам: $x = (27 - 12) / 2 = 7{,}5$. * В образовавшемся прямоугольном треугольнике боковая сторона $AB$ является гипотенузой, а отрезок $7{,}5$ — прилежащим катетом. Используем косинус: $\cos(60^\circ) = 7{,}5 / AB$. Так как $\cos(60^\circ) = 0{,}5$, то $0{,}5 = 7{,}5 / AB$, откуда $AB = 15$. * Периметр $P = 12 + 27 + 15 + 15 = 69$. * **Ответ:** 69. **3. Длина основания BC** * Пусть высота из $C$ падает на основание $AD$ в точку $H$. Она делит $AD$ на отрезки $AH$ и $HD$. По условию, отрезки равны $3$ и $11$. Рассмотрим два случая расположения высоты в равнобедренной трапеции: * Случай 1: $AH = 3, HD = 11$. Тогда $AD = 3 + 11 = 14$. Так как трапеция равнобедренная, высота из $B$ отсекает на $AD$ отрезок $11$ с другой стороны. Тогда $BC = 11 - 3 = 8$. * Случай 2: $AH = 11, HD = 3$. Тогда $AD = 14$. Высота из $B$ отсекает на $AD$ отрезок $3$. Тогда $BC = 11 - 3 = 8$. * В обоих случаях $BC = |11 - 3| = 8$. * **Ответ:** 8.