Найти область определения функции: 1) y = 3(x - 1)^-3; 2) 4-я степень корня из (x^2 - 3x - 4).

### 1. Найти область определения функции: 1) $y = 3(x - 1)^{-3} = \frac{3}{(x-1)^3}$. Знаменатель не может быть равен 0, значит, $x-1 \neq 0$, $x \neq 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. 2) $y = \sqrt[4]{x^2 - 3x - 4}$. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным: $x^2 - 3x - 4 \geq 0$. Решим уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$ через дискриминант: $D = 9 - 4(1)(-4) = 25$. $x_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{2}$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 4$. Парабола ветвями вверх, область $\geq 0$ на промежутках $(-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$. ### 2. Построить график функции: 1) $y = \sqrt[3]{x} + 1$: график $y=\sqrt[3]{x}$, сдвинутый вверх на 1 единицу. Область определения: $x \in \mathbb{R}$. $y>0$ при $\sqrt[3]{x} > -1 \Rightarrow x > -1$. 2) $y = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$: график гиперболы, ветви симметричны относительно оси $Oy$ и лежат в 1 и 2 четвертях. Область определения: $x \neq 0$. $y>0$ при $x \neq 0$. 3) $y = \frac{x^4}{2}$: график параболы, более узкой, чем стандартная $y=x^4$. Область определения: $x \in \mathbb{R}$. $y>0$ при $x \neq 0$. ### 3. Решить уравнение: 1) $\sqrt[3]{x - 3} = 5$. Возведем обе части в куб: $x - 3 = 125$, откуда $x = 128$. 2) $\sqrt{3 - x - x^2} = x$. Возведем в квадрат при условии $x \geq 0$: $3 - x - x^2 = x^2 \Rightarrow 2x^2 + x - 3 = 0$. $D = 1 - 4(2)(-3) = 25$. $x = \frac{-1 \pm 5}{4}$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -1.5$. Условие $x \geq 0$ выполняется только для $x = 1$. Проверка: $\sqrt{3 - 1 - 1} = \sqrt{1} = 1$. Ответ: 1.