Проверь себя! 1. Найти область определения функции: 1) y = 3(x - 1)^-3; 2) 4√x^2 - 3x - 4.

### 1. Найти область определения функции: 1) $y = 3(x - 1)^{-3} = \frac{3}{(x - 1)^3}$. Знаменатель не равен 0: $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. Область определения: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. 2) $y = \sqrt[4]{x^2 - 3x - 4}$. Корень четной степени определен, если подкоренное выражение $\ge 0$: $x^2 - 3x - 4 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ равны $4$ и $-1$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$. ### 2. Построить график функции: 1) $y = \sqrt[3]{x+1}$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. $y > 0$ при $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$. 2) $y = 2x^{-2} = \frac{2}{x^2}$. Область определения: $x \neq 0$ или $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. $y > 0$ при всех $x$ из области определения, т.е. $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. 3) $y = \frac{x^4}{2}$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. $y > 0$ при $x^4 > 0 \Rightarrow x \neq 0$. ### 3. Решить уравнение: 1) $\sqrt[3]{x - 3} = 5$. Возведем обе части в куб: $x - 3 = 125 \Rightarrow x = 128$. 2) $\sqrt{3 - x - x^2} = x$. Возведем обе части в квадрат при условии $x \ge 0$: $3 - x - x^2 = x^2 \Rightarrow 2x^2 + x - 3 = 0$. Дискриминант: $D = 1 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$. $x_1 = 1$, $x_2 = -1.5$. Условие $x \ge 0$ удовлетворяет только $x = 1$.