Найти: ∠BOC.

На рисунке изображены три прямые (или лучи, исходящие из точки O), пересекающиеся в точке O. Мы видим, что $\angle COE = 32^\circ$ и $\angle DOE = 32^\circ$. 1. Прямая FE делит плоскость на два развернутых угла по $180^\circ$. 2. Луч OC и луч OD выходят из точки O. Углы $\angle COE$ и $\angle DOE$ — смежные с углами $\angle COF$ и $\angle DOF$ соответственно. 3. Так как прямые AD и BC пересекаются в точке O, то углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ являются вертикальными, как и углы $\angle AOB$ и $\angle COD$. 4. Однако здесь нас просят найти $\angle BOC$. Заметим, что прямая FE — это прямая, а лучи OB и OC лежат по разные стороны от нее. 5. Рассмотрим развернутый угол $\angle FOE = 180^\circ$. Угол $\angle FOE$ состоит из суммы углов $\angle FOB$, $\angle BOC$ и $\angle COE$. Также $\angle FOE = \angle FOD + \angle DOE$. 6. Вертикальные углы равны: $\angle AOF = \angle EOD = 32^\circ$ (если предположить, что FE — прямая). 7. Из рисунка видно, что $\angle AOF$ и $\angle EOD$ — вертикальные, если FE и AD — прямые. Тогда $\angle AOF = 32^\circ$. 8. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ вертикальны. 9. Если FE — прямая, то $\angle BOF + \angle BOC + \angle COE = 180^\circ$. Давайте воспользуемся свойством вертикальных углов. Угол $\angle EOD = 32^\circ$. Угол $\angle AOF$ вертикален к нему, значит $\angle AOF = 32^\circ$. Угол $\angle COE = 32^\circ$. Вертикальный к нему угол — $\angle AOB$. Значит, $\angle AOB = 32^\circ$. Прямая FE развернута на $180^\circ$. Угол $\angle FOE = 180^\circ$. Сумма углов $\angle FOB + \angle BOC + \angle COE = 180^\circ$. Однако, из рисунка мы видим, что угол $\angle FOE$ разбит лучами OB, OC и OD. Проще всего найти угол $\angle BOC$, зная, что $\angle COF$ и $\angle BOE$ — это развернутые углы, если AD, BC, FE — прямые. Сумма углов вокруг точки O равна $360^\circ$. Или просто: угол $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB - \angle EOD$? Нет. Заметим, что $\angle COF = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$. Угол $\angle BOC$ является частью развернутого угла. Если FE — прямая, то $\angle BOC + \angle COE + \angle EOB = 180^\circ$. Из рисунка: $\angle BOC = 180^\circ - (\angle AOB + \angle AOF) = 180^\circ - (32^\circ + 32^\circ) = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$. Ответ: $116^\circ$.