### 1. Найдите степень одночлена:
а) $m^3n^2$: степень $3+2=5$.
б) $-3amx$: степень $1+1+1=3$.
в) $7,3pq^2r^3$: степень $1+2+3=6$.
г) $4c^2f^2g^4$: степень $2+2+4=8$.
д) $a_1 \cdot a_2^2 \cdot a_3^3 \cdot a_4^4 \cdot \dots \cdot a_{10}^{10}$: степень $1+2+3+4+\dots+10 = \frac{10(11)}{2} = 55$.
е) $a_1 \cdot a_2^2 \cdot a_3^3 \cdot a_4^4 \cdot \dots \cdot a_{10}^{100}$: это не одночлен стандартного вида, так как основания разные (если это $a^1 \cdot a^2 \dots$). Если это $a_1, a_2$ как разные переменные, то степень $1+2+3+4+100$ не считается как у одночлена с одной переменной. Предполагая, что это произведение $a^1 \cdot a^2 \dots \cdot a^{100}$, степень $1+2+\dots+100 = 5050$.
### 2. Приведите одночлен к стандартной форме:
а) $-(3a) \cdot (2b)^3 \cdot 0,25ab^2 = -3a \cdot 8b^3 \cdot 0,25ab^2 = (-3 \cdot 8 \cdot 0,25) \cdot a^{1+1} \cdot b^{3+2} = -6a^2b^5$.
б) $(mn^2)^2 = m^2n^4$.
в) $(-3,2a^2b)^2 \cdot (-0,5b)^3 = (10,24a^4b^2) \cdot (-0,125b^3) = -1,28a^4b^5$.
г) $(0,6m \cdot \frac{2}{3}mn^2)^2 = (0,4m^2n^2)^2 = 0,16m^4n^4$.
д) $(-a^3bc^2)^3 = -a^9b^3c^6$.
е) $a \cdot (ab)^2 \cdot (abc)^3 = a \cdot a^2b^2 \cdot a^3b^3c^3 = a^{1+2+3}b^{2+3}c^3 = a^6b^5c^3$.
ё) $m^3 \cdot (mn^2)^2 \cdot mnk^3 = m^3 \cdot m^2n^4 \cdot mnk^3 = m^{3+2+1}n^{4+1}k^3 = m^6n^5k^3$.
### 3. Найдите коэффициент и степень одночлена:
а) $2a \cdot ((-3a) \cdot (bc^2)^2 \cdot 2d)^2 = 2a \cdot (-3a \cdot b^2c^4 \cdot 2d)^2 = 2a \cdot (-6ab^2c^4d)^2 = 2a \cdot 36a^2b^4c^8d^2 = 72a^3b^4c^8d^2$. Коэффициент 72, степень 17.
б) $(-0,25m^2) \cdot 6mk \cdot (-4k^2)^2 = -0,25m^2 \cdot 6mk \cdot 16k^4 = -24m^3k^5$. Коэффициент -24, степень 8.
в) $1,1a \cdot 1,2b^2 \cdot 1,3c^3 = 1,716ab^2c^3$. Коэффициент 1,716, степень 6.
г) $\frac{1}{2}m \cdot \frac{2}{3}n^2 \cdot \frac{3}{4}k^3 \cdot \frac{4}{5}l^4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} m n^2 k^3 l^4 = \frac{1}{5}mn^2k^3l^4$. Коэффициент 0,2, степень 10.
### 4. Найдите коэффициент одночлена (a и b - константы):
а) $am \cdot (-bn^2) \cdot abk = -a^2bn^2mk$. Коэффициент $-a^2b$.
б) $x^2 \cdot (ay)^2 \cdot (abm)^3 = x^2 \cdot a^2y^2 \cdot a^3b^3m^3 = a^5b^3m^3x^2y^2$. Коэффициент $a^5b^3m^3$.
в) $ap \cdot 2abpq \cdot 3abcpqr = 6a^3b^2c p^2 q^2 r^2$. Коэффициент $6a^3b^2c$.
г) $(2bx^2)^3 \cdot (5a^2y)^2 = 8b^3x^6 \cdot 25a^4y^2 = 200a^4b^3x^6y^2$. Коэффициент $200a^4b^3$.
### 5. Запишите в виде многочлена:
а) $(a-2b)(3a+b) = 3a^2 + ab - 6ab - 2b^2 = 3a^2 - 5ab - 2b^2$.
б) $m(2m+n) - n(2m-n) = 2m^2 + mn - 2mn + n^2 = 2m^2 - mn + n^2$.
в) $(a^2+bc)(m^2-nk) = a^2m^2 - a^2nk + bcm^2 - bcnk$.
г) $(x^2-ax)(x^2+bx) = x^4 + bx^3 - ax^3 - abx^2 = x^4 + x^3(b-a) - abx^2$.
д) $(a(a+b) - b(a-b))a^2 = (a^2 + ab - ab + b^2)a^2 = (a^2+b^2)a^2 = a^4 + a^2b^2$.
е) $(m^2-nk)(n^2-mk)(k^2-mn) = (m^2n^2 - m^3k - n^3k + mnk^2)(k^2-mn) = m^2n^2k^2 - m^3n^3 - m^3k^3 + m^4nk - n^3k^3 + mn^4k + mnk^4 - m^2n^2k^2 = -m^3n^3 - m^3k^3 + m^4nk - n^3k^3 + mn^4k + mnk^4$.
ё) $(a+(a+b)^2)(a-b) = (a + a^2 + 2ab + b^2)(a-b) = a^2 - ab + a^3 - a^2b + 2a^2b - 2ab^2 + ab^2 - b^3 = a^3 + a^2 - a^2b + ab^2 - ab - b^3$.
ж) $(x^2+2xy)^2 - (2xy)^2 = (x^2+2xy-2xy)(x^2+2xy+2xy) = x^2(x^2+4xy) = x^4 + 4x^3y$.
