Найдите наибольшее значение функции y = (x^2 + 8x + 17)e^{x-3} + 1 на отрезке [0; 3].

Для нахождения наибольшего значения функции $y = (x^2 + 8x + 17)e^{x-3} + 1$ на отрезке $[0; 3]$ нужно выполнить следующие шаги: 1. Найдем производную функции: Производная произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Пусть $u = x^2 + 8x + 17$, тогда $u' = 2x + 8$. Пусть $v = e^{x-3}$, тогда $v' = e^{x-3}$. $y' = (2x + 8)e^{x-3} + (x^2 + 8x + 17)e^{x-3} = e^{x-3}(2x + 8 + x^2 + 8x + 17) = e^{x-3}(x^2 + 10x + 25) = e^{x-3}(x + 5)^2$. 2. Найдем критические точки: $y' = 0$ при $e^{x-3}(x + 5)^2 = 0$. Так как $e^{x-3} > 0$ всегда, то $x + 5 = 0$, откуда $x = -5$. Точка $x = -5$ не принадлежит отрезку $[0; 3]$. 3. Вычислим значения функции на концах отрезка $[0; 3]$: - При $x = 0$: $y(0) = (0^2 + 8(0) + 17)e^{0-3} + 1 = 17e^{-3} + 1 = \frac{17}{e^3} + 1 \approx \frac{17}{20} + 1 = 0.85 + 1 = 1.85$. - При $x = 3$: $y(3) = (3^2 + 8(3) + 17)e^{3-3} + 1 = (9 + 24 + 17)e^0 + 1 = (50) \cdot 1 + 1 = 51$. Наибольшее значение функции равно 51.