Найдите наибольшее значение функции y = (x^2 + 8x + 17)e^{x-3} + 1 на отрезке [0; 3].

Для нахождения наибольшего значения функции $y = (x^2 + 8x + 17)e^{x-3} + 1$ на отрезке $[0; 3]$ выполним следующие шаги: 1. Найдем производную функции: $y' = ((x^2 + 8x + 17)e^{x-3} + 1)'$ $y' = (x^2 + 8x + 17)' \cdot e^{x-3} + (x^2 + 8x + 17) \cdot (e^{x-3})' + 0$ $y' = (2x + 8)e^{x-3} + (x^2 + 8x + 17)e^{x-3}$ $y' = e^{x-3}(2x + 8 + x^2 + 8x + 17)$ $y' = e^{x-3}(x^2 + 10x + 25)$ $y' = e^{x-3}(x + 5)^2$ 2. Найдем критические точки на интервале $[0; 3]$. Приравняем $y' = 0$: $e^{x-3}(x + 5)^2 = 0$ Так как $e^{x-3} > 0$ для любых $x$, то: $(x + 5)^2 = 0$ $x = -5$ Точка $x = -5$ не принадлежит отрезку $[0; 3]$. Значит, критических точек на данном отрезке нет. 3. Так как производная $y' = e^{x-3}(x + 5)^2$ всегда больше нуля на отрезке $[0; 3]$ (так как $(x+5)^2 > 0$ и $e^{x-3} > 0$), функция возрастает на всем отрезке $[0; 3]$. 4. Следовательно, наибольшее значение функции будет достигаться на правом конце отрезка, то есть в точке $x = 3$. 5. Вычислим значение $y(3)$: $y(3) = (3^2 + 8 \cdot 3 + 17)e^{3-3} + 1$ $y(3) = (9 + 24 + 17)e^0 + 1$ $y(3) = 50 \cdot 1 + 1$ $y(3) = 51$ Ответ: 51