Стороны параллелограмма равны 8 и 3. Биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к большей стороне, делят противолежащую сторону на три части. Найдите каждую из них.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, у которого стороны $AB = CD = 3$, $BC = AD = 8$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекают сторону $CD$ (противолежащую $AB$, но здесь по условию «противолежащую стороне $AB$» — это сторона $CD$, но биссектрисы углов при стороне $AB$ делят сторону $CD$). Пусть $AK$ — биссектриса угла $A$, $BM$ — биссектриса угла $B$. Точки $K$ и $M$ лежат на стороне $CD$ (или ее продолжении, но здесь они лежат на $CD$ так как они делят ее на три части). 1. Так как $AK$ — биссектриса, то $\angle BAK = \angle DAK$. Но $\angle DAK = \angle AKB$ (как накрест лежащие при $BC \parallel AD$ и секущей $AK$). Значит, $\triangle ADK$ — равнобедренный, $DK = AD = 8$ (но здесь сторона $AD$ — это 3, так как стороны 8 и 3. Уточним: биссектрисы углов при большей стороне. Значит, биссектрисы углов при стороне 8. Пусть это $AD$ и $BC$. Тогда биссектрисы делят сторону $CD$ (если она противолежит). Разберем корректнее: пусть $AD=8$ (большая сторона), $AB=3$. Биссектрисы углов $A$ и $D$ делят сторону $BC$ на части. Углы $A$ и $D$ прилежат к стороне $AD=8$. Биссектрисы этих углов пересекаются в точке $O$ на стороне $BC$. Треугольник $AOD$ — равнобедренный с основанием $AD=8$. Однако биссектрисы углов $A$ и $D$ пересекаются на стороне $BC$ в одной точке, деля ее на два отрезка. В условии сказано «делят на три части». Это значит, что биссектрисы выходят из углов $A$ и $B$ (прилежащих к большей стороне $AB=8$? Нет, тогда $AB=8$, $BC=3$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ делят сторону $CD$ на части). Пусть $AD=8$, $CD=3$. Биссектрисы углов $A$ и $D$ (прилежащих к большей стороне) делят $BC$ (противолежащую) на части. Пусть биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $K$. $\triangle ABK$ равнобедренный ($AB=BK=3$). Пусть биссектриса угла $D$ пересекает $BC$ в точке $M$. $\triangle DCM$ равнобедренный ($CD=CM=3$). Тогда отрезок $BC=8$ делится точками $K$ и $M$ на части: $BK = 3$ $CM = 3$ $KM = BC - BK - CM = 8 - 3 - 3 = 2$ Ответ: 3, 2, 3.