Найдите промежутки возрастания и убывания функции

Для решения задач найдем производную функции $f'(x)$ и определим ее знак на промежутках. 1) $f(x) = 3x^4 - 20x^3 + 36x^2 - 4$. $f'(x) = 12x^3 - 60x^2 + 72x = 12x(x^2 - 5x + 6) = 12x(x-2)(x-3)$. Возрастает: $(0, 2) \cup (3, +\infty)$, убывает: $(-\infty, 0) \cup (2, 3)$. 2) $f(x) = 9 + 4x^3 - x^4$. $f'(x) = 12x^2 - 4x^3 = -4x^2(x-3)$. Возрастает: $(-\infty, 3]$, убывает: $[3, +\infty)$. 3) $f(x) = \frac{2x - 9}{x - 5}$. $f'(x) = \frac{2(x-5) - (2x-9)}{(x-5)^2} = \frac{-1}{(x-5)^2}$. Функция убывает на всей области определения: $(-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$. 4) $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x - 4}$. $f'(x) = \frac{(2x+5)(x-4) - (x^2+5x)}{(x-4)^2} = \frac{x^2 - 8x - 20}{(x-4)^2} = \frac{(x-10)(x+2)}{(x-4)^2}$. Возрастает: $(-\infty, -2] \cup [10, +\infty)$, убывает: $[-2, 4) \cup (4, 10]$. 5) $f(x) = 3x + \frac{12}{x^2}$. $f'(x) = 3 - \frac{24}{x^3} = \frac{3(x-2)(x^2+2x+4)}{x^3}$. Возрастает: $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$, убывает: $(0, 2)$. 6) $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4}$. $f'(x) = \frac{2x(x^2-4) - x^2(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-8x}{(x^2-4)^2}$. Возрастает: $(-\infty, -2) \cup (-2, 0]$, убывает: $[0, 2) \cup (2, +\infty)$.