Исследуйте функцию и постройте ее график: в) y = -x^3 + 6x^2 - 5; г) y = x^3 - 3x + 2

Исследование функций из задачи 31.5. ### в) $y = -x^3 + 6x^2 - 5$ 1. **Область определения:** $D(y) = \mathbb{R}$. 2. **Производная:** $y' = -3x^2 + 12x = -3x(x - 4)$. 3. **Критические точки:** $-3x(x - 4) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 4$. 4. **Промежутки монотонности:** - На $(-\infty; 0)$ функция убывает ($y' < 0$). - На $(0; 4)$ функция возрастает ($y' > 0$). - На $(4; +\infty)$ функция убывает ($y' < 0$). 5. **Экстремумы:** - Минимум в точке $x = 0$: $y(0) = -5$. Точка $(0; -5)$. - Максимум в точке $x = 4$: $y(4) = -64 + 6(16) - 5 = -64 + 96 - 5 = 27$. Точка $(4; 27)$. 6. **Точки пересечения с осями:** - $y(0) = -5$ (ось $OY$). - $-x^3 + 6x^2 - 5 = 0$. Подбором корней, один корень $x \approx 1$. Приблизительно пересекает ось $OX$ в точках $\approx -0.8$, $\approx 1.2$, $\approx 5.6$. :::@chart-1::: ### г) $y = x^3 - 3x + 2$ 1. **Область определения:** $D(y) = \mathbb{R}$. 2. **Производная:** $y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$. 3. **Критические точки:** $x = 1, x = -1$. 4. **Промежутки монотонности:** - На $(-\infty; -1)$ функция возрастает ($y' > 0$). - На $(-1; 1)$ функция убывает ($y' < 0$). - На $(1; +\infty)$ функция возрастает ($y' > 0$). 5. **Экстремумы:** - Максимум в $x = -1$: $y(-1) = -1 + 3 + 2 = 4$. Точка $(-1; 4)$. - Минимум в $x = 1$: $y(1) = 1 - 3 + 2 = 0$. Точка $(1; 0)$ — это также точка касания оси $OX$. 6. **Точки пересечения:** - $(0; 2)$ (ось $OY$). - $x = 1$ (минимум, корень кратности 2), и $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2) = 0 \Rightarrow x = -2$. Точка $(-2; 0)$. :::@chart-2:::