Через конец А отрезка АВ проведена плоскость а. Через точку В и точку С, лежащую на отрезке АВ, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость а в точках B1 и C1.

Задача 2 а) Доказательство: 1. Прямые $BB_1$ и $CC_1$ параллельны по условию. Значит, они лежат в одной плоскости (обозначим её $\beta$). 2. Прямая $AB$ пересекает эту плоскость $\beta$ в точке $A$ (так как $C$ лежит на $AB$ и $C_1$ на $AB_1$, и обе прямые параллельны, значит $A$, $B$, $B_1$, $C_1$ и $C$ задают некоторую конфигурацию в пространстве). 3. Точки $B_1$ и $C_1$ лежат в плоскости $\alpha$ (по условию). 4. Точки $B$ и $C$ лежат на прямой $AB$, которая пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$ (так как $A$ принадлежит $\alpha$). 5. Плоскость $\beta$, проходящая через параллельные прямые $BB_1$ и $CC_1$, пересекает плоскость $\alpha$ по некоторой прямой, проходящей через точки $B_1$ и $C_1$. 6. Точка $A$ также принадлежит плоскости $\beta$ (так как $A$ лежит на прямой $AB$, пересекающей плоскость $\beta$), и $A$ лежит в плоскости $\alpha$. Значит, точка $A$ лежит на прямой пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. 7. Следовательно, точки $A$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой — прямой пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. б) Решение: Так как прямые $BB_1$ и $CC_1$ параллельны, треугольники $\triangle ACC_1$ и $\triangle ABB_1$ подобны по двум углам (угол $A$ — общий, $\angle ACC_1 = \angle ABB_1$ как соответственные при параллельных прямых). Из подобия следует отношение сторон: $\frac{AC}{AB} = \frac{CC_1}{BB_1}$ Подставим значения: $\frac{5}{AB} = \frac{4}{12}$ $\frac{5}{AB} = \frac{1}{3}$ $AB = 5 \cdot 3 = 15$ (см). Так как $AB = AC + CB$, то: $15 = 5 + CB$ $CB = 15 - 5 = 10$ (см). Ответ: 10 см. Задача 3 Доказательство: 1. Пусть $a$ и $b$ — две пересекающиеся прямые, $\alpha$ — плоскость, содержащая их. Пусть точка их пересечения — $M$. 2. Пусть $x$ — произвольная прямая, которая пересекает прямую $a$ в точке $A_1$, а прямую $b$ в точке $B_1$ ($A_1 \neq M, B_1 \neq M$). 3. Прямая $x$ и прямая $a$ пересекаются, следовательно, они определяют плоскость $\beta$. 4. Точки $M$ и $B_1$ лежат в плоскости $\beta$ (так как $M$ лежит на $a$, а $B_1$ на $x$). 5. Прямая $b$ проходит через точки $M$ и $B_1$, значит, прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$. 6. Таким образом, все прямые, пересекающие $a$ и $b$, лежат в плоскости, проходящей через $a$ и $b$ (или в случае, если прямая $x$ параллельна одной из них, в плоскости, определяемой этими прямыми).