Назовите все пары скрещивающихся (т. е. принадлежащих скрещивающимся прямым) ребер тетраэдра ABCD. Сколько таких пар ребер имеет тетраэдр?

### Решение задачи 66 Тетраэдр ABCD имеет 6 рёбер: AB, BC, CD, DA, AC, BD. Скрещивающиеся рёбра — это те, которые не лежат в одной плоскости (не имеют общих вершин). Пары скрещивающихся рёбер: 1. AB и CD 2. BC и AD 3. AC и BD **Ответ:** всего 3 пары скрещивающихся рёбер. ### Решение задачи 67 Дано: тетраэдр DABC, $\angle ADB = 54^{\circ}$, $\angle BDC = 72^{\circ}$, $\angle CDA = 90^{\circ}$, $DA = 20$ см, $BD = 18$ см, $DC = 21$ см. a) Найти рёбра основания ABC. Основание — это треугольник ABC. Его стороны можно найти по теореме косинусов для треугольников ADB, BDC и CDA (которые являются гранями при вершине D). 1. Найдём AB из треугольника ADB: $AB^2 = DA^2 + DB^2 - 2 \cdot DA \cdot DB \cdot \cos(\angle ADB)$ $AB^2 = 20^2 + 18^2 - 2 \cdot 20 \cdot 18 \cdot \cos(54^{\circ}) = 400 + 324 - 720 \cdot 0,5878 \approx 724 - 423,2 = 300,8$ $AB \approx \sqrt{300,8} \approx 17,3$ см. 2. Найдём BC из треугольника BDC: $BC^2 = DB^2 + DC^2 - 2 \cdot DB \cdot DC \cdot \cos(\angle BDC)$ $BC^2 = 18^2 + 21^2 - 2 \cdot 18 \cdot 21 \cdot \cos(72^{\circ}) = 324 + 441 - 756 \cdot 0,3090 \approx 765 - 233,6 = 531,4$ $BC \approx \sqrt{531,4} \approx 23,05$ см. 3. Найдём AC из треугольника CDA: Так как $\angle CDA = 90^{\circ}$, то треугольник CDA прямоугольный. По теореме Пифагора: $AC^2 = DA^2 + DC^2 = 20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ $AC = \sqrt{841} = 29$ см. б) Площади боковых граней (грани DAB, DBC, DAC): 1. $S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot DB \cdot \sin(\angle ADB) = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 18 \cdot \sin(54^{\circ}) \approx 180 \cdot 0,809 \approx 145,62$ см$^2$. 2. $S_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot DC \cdot \sin(\angle BDC) = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 21 \cdot \sin(72^{\circ}) \approx 189 \cdot 0,951 \approx 179,74$ см$^2$. 3. $S_{DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot DC \cdot \sin(90^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 \cdot 1 = 210$ см$^2$.