Почему при переносе на 90 градусов на тригонометрическом круге угла альфа исходная его точка координаты (х,у) меняет свои значения на (-у,х)?

Question

Вопрос:

Почему при переносе на 90 градусов на тригонометрическом круге угла альфа исходная его точка координаты (х,у) меняет свои значения на (-у,х)?

Ответ ассистента

Accepted Answer

При повороте точки на тригонометрическом круге на 90 градусов против часовой стрелки происходит преобразование координат, которое можно объяснить геометрически через равенство прямоугольных треугольников. 1. Рассмотрим исходную точку $A(x; y)$ на окружности. Она образует с осью $Ox$ прямоугольный треугольник, где прилежащий катет равен $x$, а противолежащий равен $y$. 2. При повороте на $90^{\circ}$ этот треугольник «поворачивается» и занимает положение во второй четверти. 3. Его горизонтальный катет (координата $x_{new}$) теперь равен по длине вертикальному катету исходного треугольника ($y$), но направлен в отрицательную сторону оси $Ox$. Поэтому $x_{new} = -y$. 4. Его вертикальный катет (координата $y_{new}$) теперь равен по длине горизонтальному катету исходного треугольника ($x$) и направлен вверх. Поэтому $y_{new} = x$. Таким образом, точка $(x; y)$ переходит в $(-y; x)$. С точки зрения тригонометрии это соответствует формулам приведения: - $\cos(\alpha + 90^{\circ}) = -\sin \alpha$ (новая абсцисса $x$ равна исходному $-y$) - $\sin(\alpha + 90^{\circ}) = \cos \alpha$ (новая ордината $y$ равна исходному $x$)

Почему при переносе на 90 градусов на тригонометрическом круге угла альфа исходная его точка координаты (х,у) меняет свои значения на (-у,х)?

Ответ ассистента

Другие решения