1. Какую скорость разовьет мотоцикл, пройдя из состояния покоя путь 100 м с ускорением 2 м/с2?

Для решения задач по кинематике используем формулы равноускоренного движения: $v = v_0 + at$, $S = v_0t + \frac{at^2}{2}$, $v^2 - v_0^2 = 2aS$. 1. Дано: $v_0 = 0$, $S = 100\text{ м}$, $a = 2\text{ м/с}^2$. Найти $v$. $v^2 = 2aS = 2 \cdot 2 \cdot 100 = 400 \implies v = 20\text{ м/с}$. 2. Дано: $v_0 = 36\text{ км/ч} = 10\text{ м/с}$, $v = 0$, $t = 2\text{ с}$. Найти $a$. $v = v_0 + at \implies 0 = 10 + a \cdot 2 \implies a = -5\text{ м/с}^2$. 3. Дано: $v_0 = 18\text{ км/ч} = 5\text{ м/с}$, $a = 0{,}2\text{ м/с}^2$, $t = 10\text{ с}$. Найти $S$. $S = 5 \cdot 10 + \frac{0{,}2 \cdot 10^2}{2} = 50 + 10 = 60\text{ м}$. 4. Дано: $v_0 = 400\text{ м/с}$, $v = 0$, $S = 0{,}2\text{ м}$. Найти $t$. $S = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t \implies 0{,}2 = \frac{400 + 0}{2} \cdot t \implies 0{,}2 = 200t \implies t = 0{,}001\text{ с}$. 5. Дано: $v_0 = 54\text{ км/ч} = 15\text{ м/с}$, $a = -0{,}4\text{ м/с}^2$, $v = v_0/3 = 5\text{ м/с}$. Найти $t, S$. $v = v_0 + at \implies 5 = 15 - 0{,}4t \implies 0{,}4t = 10 \implies t = 25\text{ с}$. $S = v_0t + \frac{at^2}{2} = 15 \cdot 25 - 0{,}2 \cdot 25^2 = 375 - 125 = 250\text{ м}$. 6. Дано: $a = 2\text{ м/с}^2$, $t = 5\text{ с}$, $S = 125\text{ м}$. Найти $v_0$. $125 = v_0 \cdot 5 + \frac{2 \cdot 5^2}{2} \implies 125 = 5v_0 + 25 \implies 5v_0 = 100 \implies v_0 = 20\text{ м/с}$. 7. Дано: $v_1 = 3\text{ м/с}$, $t_1 = 5\text{ с}$, $a = 0{,}2\text{ м/с}^2$, $t_2 = 10\text{ с}$. Участок 1: $S_1 = 3 \cdot 5 = 15\text{ м}$. Участок 2: $v_0 = 3\text{ м/с}$. Через $10\text{ с}$ от начала ускорения (всего $15\text{ с}$ от старта): $v = 3 + 0{,}2 \cdot 10 = 5\text{ м/с}$. $S_2 = v_0t + \frac{at^2}{2} = 3 \cdot 10 + 0{,}1 \cdot 100 = 40\text{ м}$. Итого $v = 5\text{ м/с}$, $S = 15 + 40 = 55\text{ м}$. 8. Дано: $t_1 = 4\text{ с}$, $S_1 = 24\text{ м}$, $t_2 = 4\text{ с}$ (следующие), $S_2 = 64\text{ м}$. Система: 1) $24 = 4v_0 + 8a \implies 6 = v_0 + 2a$ 2) За $8\text{ с}$ всего пройдено $24+64=88\text{ м}$. $88 = 8v_0 + 32a \implies 11 = v_0 + 4a$ Вычитаем: $5 = 2a \implies a = 2{,}5\text{ м/с}^2$. $v_0 = 6 - 5 = 1\text{ м/с}$. Г*. Дано: $S_{общ} = 18\text{ км}$, $v_{ср} = 54\text{ км/ч} = 15\text{ м/с}$. $t_1 = 120\text{ с}$, $t_3 = 60\text{ с}$. $S_{общ} = 18000\text{ м}$. $t_{общ} = S / v_{ср} = 18000 / 15 = 1200\text{ с}$. Пусть $v_{max}$ — скорость на равномерном участке $t_2 = 1200 - 120 - 60 = 1020\text{ с}$. Разгон: $S_1 = v_{max}/2 \cdot 120 = 60 v_{max}$. Торможение: $S_3 = v_{max}/2 \cdot 60 = 30 v_{max}$. Равномерное: $S_2 = v_{max} \cdot 1020$. $18000 = 60v_{max} + 30v_{max} + 1020v_{max} = 1110v_{max}$. $v_{max} = 18000 / 1110 \approx 16{,}2\text{ м/с}$.