40. Сократите дробь:

а) $\frac{(a+1)^2+1}{a^4+4} = \frac{a^2+2a+2}{a^4+4}$. Данная дробь не сокращается, так как знаменатель $a^4+4 = (a^2+2)^2 - (2a)^2 = (a^2+2-2a)(a^2+2+2a)$, а числитель $a^2+2a+2$ является одним из множителей знаменателя. Сократим: $\frac{a^2+2a+2}{(a^2+2a+2)(a^2-2a+2)} = \frac{1}{a^2-2a+2}$. б) $\frac{b^3+1}{b^5+b^4+b^3+b^2+b+1} = \frac{(b+1)(b^2-b+1)}{(b^3+1)(b^2+1)} = \frac{(b+1)(b^2-b+1)}{(b+1)(b^2-b+1)(b^2+1)} = \frac{1}{b^2+1}$. в) $\frac{9x^2+3x+1}{81x^4+9x^2+1} = \frac{9x^2+3x+1}{(9x^2+1)^2 - 9x^2} = \frac{9x^2+3x+1}{(9x^2+1-3x)(9x^2+1+3x)} = \frac{1}{9x^2-3x+1}$. г) $\frac{8y^6-1}{16y^8-4y^4-4y^2-1} = \frac{(2y^2-1)(4y^4+2y^2+1)}{(4y^4-1)(4y^4+1)} = \frac{(2y^2-1)(4y^4+2y^2+1)}{(2y^2-1)(2y^2+1)(4y^4+1)}$. Дробь упрощается до $\frac{4y^4+2y^2+1}{(2y^2+1)(4y^4+1)}$. д) $\frac{(x-4)^2+(x-8)^2-10}{(x+1)^2+(x-3)^2-80} = \frac{x^2-8x+16+x^2-16x+64-10}{x^2+2x+1+x^2-6x+9-80} = \frac{2x^2-24x+70}{2x^2-4x-70} = \frac{2(x^2-12x+35)}{2(x^2-2x-35)} = \frac{(x-5)(x-7)}{(x-7)(x+5)} = \frac{x-5}{x+5}$. е) $\frac{(ax-by)^2+(bx+ay)^2}{(cx-ay)^2+(ax+cy)^2} = \frac{a^2x^2-2axby+b^2y^2+b^2x^2+2bxay+a^2y^2}{c^2x^2-2cxay+a^2y^2+a^2x^2+2axcy+c^2y^2} = \frac{x^2(a^2+b^2)+y^2(a^2+b^2)}{x^2(c^2+a^2)+y^2(c^2+a^2)} = \frac{(x^2+y^2)(a^2+b^2)}{(x^2+y^2)(a^2+c^2)} = \frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}$. ж) $\frac{2a^4+a^3+4a^2+a+2}{2a^3-a^2+a-2} = \frac{(2a^4+4a^2+2)+a^3+a}{2a^3-a^2+a-2} = \frac{2(a^2+1)^2+a(a^2+1)}{2a^3-a^2+a-2} = \frac{(a^2+1)(2a^2+a+2)}{2a^3-a^2+a-2}$. з) $\frac{a^3-2a^2+5a+26}{a^3-5a^2+17a-13} = \frac{(a+2)(a^2-4a+13)}{(a-1)(a^2-4a+13)} = \frac{a+2}{a-1}$.