11. Найти x. BD = 12. AC = x.

Допущение: Во всех задачах используются стандартные свойства геометрических фигур (квадратов и четырехугольников). **Задача 11** Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть $O$ — точка пересечения. Тогда $BO = 6$. В прямоугольном треугольнике $AOB$: $AO^2 + BO^2 = AB^2$. Здесь недостаточно данных для однозначного определения $x=AC$, так как сторона $AB$ не задана, а $10$ — это, вероятно, отрезок $BC$. Если $BC=10$, то $OC^2 = BC^2 - BO^2 = 100 - 36 = 64$, значит $OC=8$. Диагонали $AC = 2 \cdot OC = 16$. **Задача 12** $KMLT$ — прямоугольник (судя по прямым углам). $R$ — точка на $KT$. В прямоугольном треугольнике $KMR$: $RM^2 = KM^2 + KR^2 = 100 + 64 = 164$. $RM = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$. В прямоугольном треугольнике $RMT$ (где $T$ — вершина, $MT$ — катет $x$): недостаточно данных для нахождения $x$ без связи между треугольниками. **Задача 13** $AKBL$ — квадрат. $L$ — вершина. $A$ — вершина. $M$ на $AK$. $\triangle ALM$ прямоугольный. $AL=4$, $LM=5$ (гипотенуза). $AM^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$, $AM=3$. Сторона квадрата $AK = AM + MK = 3 + x$. Но $AK=AL=4$. Тогда $3+x=4$, откуда $x=1$. **Задача 14** $ABCD$ — квадрат. $\triangle AMC$ прямоугольный ($M$ на $AB$). $MC=25$, $AC = 20\sqrt{2}$. В квадрате $AC = a\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$, значит сторона $a=20$. $AM = x$. $AC^2 = AB^2 + BC^2$ (диагональ). $AM^2 + AC^2 = MC^2$ (неверно). Верно: $AM^2 + BC^2 = MC^2$. $x^2 + 20^2 = 25^2$. $x^2 + 400 = 625$, $x^2 = 225$, $x = 15$. **Задача 15** $ABCD$ — квадрат. $\triangle MCN$ прямоугольный? В $\triangle MAN$ ($\angle M=30^{\circ}$, $\angle A=90^{\circ}$), $\angle MNA = 60^{\circ}$. $MC=20$. Недостаточно данных для периметра. **Задача 16** $ABCD$ — прямоугольник (или квадрат). $\triangle ABC$: $AC=12$, $\angle BCA = 60^{\circ}$, $BC=10$ (опечатка в условии, в прямоугольнике гипотенуза больше катета). Периметр $P = 2(AB+BC)$. Если $AC=12$ — гипотенуза, то катеты $AB = AC \cdot \sin(60^{\circ}) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$, $BC = AC \cdot \cos(60^{\circ}) = 12 \cdot 0.5 = 6$. $P = 2(6\sqrt{3} + 6) = 12(\sqrt{3} + 1)$.