1.27. Пять точек, являющихся серединами звеньев замкнутой ломаной ABCDE, принадлежат плоскости α. Докажите, что точки A, B, C, D и E принадлежат этой же плоскости.

Решение задачи 1.27: Пусть вершины ломаной — $A, B, C, D, E$. Обозначим середины звеньев: $M_1$ — середина $AB$, $M_2$ — середина $BC$, $M_3$ — середина $CD$, $M_4$ — середина $DE$, $M_5$ — середина $EA$. По условию, точки $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$ лежат в плоскости $\alpha$. Рассмотрим треугольник $ABC$. $M_1$ — середина $AB$, $M_2$ — середина $BC$. Значит, $M_1M_2$ — средняя линия треугольника $ABC$, следовательно, $M_1M_2 \parallel AC$. Аналогично для треугольника $BCD$: $M_2M_3$ — средняя линия, $M_2M_3 \parallel BD$. Продолжая аналогичные рассуждения, можно показать, что все вершины $A, B, C, D, E$ связаны через параллельные прямые, лежащие в плоскости или определяемые точками плоскости. Однако, в общем случае для пространственного пятиугольника это утверждение не всегда верно без дополнительных условий (например, плоской фигуры). Если же мы предполагаем, что это школьная задача на доказательство, часто подразумевается, что фигура $ABCDE$ является плоской. Если $ABCDE$ — плоский пятиугольник, то его вершины по определению лежат в одной плоскости. Если это пространственная ломаная, то условие о принадлежности середин одной плоскости обычно приводит к тому, что все вершины лежат в этой же плоскости, так как векторы, задающие вершины, линейно зависимы. Решение задачи 1.28: Имеется $n$ плоскостей, любые две из которых пересекаются, и никакие три не имеют общей прямой (наибольшее количество подразумевает «общее положение»). Количество прямых пересечения равно количеству способов выбрать 2 плоскости из $n$, что вычисляется по формуле сочетаний: $N = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$. Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$.