4. На рисунке изображен четырехугольник ABCD, разделенный диагональю AC.

Для задач 4, 5 и 6 нужно доказать равенство треугольников или свойства параллелограмма. ### Задача 4 На рисунке изображен четырехугольник $ABCD$, разделенный диагональю $AC$. Мы видим: 1. $\angle DAC = \angle BCA$ (отмечены одинаковыми дугами). 2. $\angle ABC = \angle ADC$ (отмечены одинаковыми дугами). 3. Сторона $AC$ общая для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам) $\triangle ABC = \triangle ADC$. Так как треугольники равны, то их соответственные стороны равны: $AB = CD$ и $BC = AD$. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм (по признаку: стороны попарно равны). ### Задача 5 На рисунке изображен четырехугольник $ABCD$ с диагональю $BD$. Мы видим: 1. $AD = BC$ (отмечены одинаковыми штрихами). 2. $\angle ADB = \angle CBD$ (отмечены одинаковыми дугами). 3. Сторона $BD$ общая для треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle ABD = \triangle BCD$. Отсюда следует, что $\angle ABD = \angle BDC$, что означает $AB \parallel CD$. Так как $AD = BC$ и $AD \parallel BC$ (из равенства углов), то $ABCD$ — параллелограмм. ### Задача 6 На рисунке изображен четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Мы видим: 1. $AO = OC$ и $BO = OD$ (отмечены одинаковыми штрихами, хотя на рисунке штрихи стоят на частях диагоналей, подразумевая деление точкой пересечения пополам). 2. $\angle AOD = \angle BOC$ (вертикальные). Так как диагонали $AC$ и $BD$ делят друг друга пополам в точке $O$, то по признаку параллелограмма четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.