Пусть функция f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6. Проверьте, выполняются ли условия теоремы Ролля на отрезке [1; 3].

1. Функция $f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ — многочлен, непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой. $f(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ и $f(3) = 27 - 54 + 33 - 6 = 0$. Так как $f(1) = f(3) = 0$, условия теоремы Ролля выполнены. Производная: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 11$. Решаем $3c^2 - 12c + 11 = 0$: $c = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 132}}{6} = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. Обе точки $2 - \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 1.42$ и $2 + \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 2.58$ лежат в интервале $(1, 3)$. 2. $f(x) = \sqrt{x}$ непрерывна на $[1, 4]$ и дифференцируема на $(1, 4)$. Условия теоремы Лагранжа выполнены. $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Уравнение: $\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{1}}{4 - 1} = \frac{1}{3} \implies 2\sqrt{c} = 3 \implies \sqrt{c} = 1.5 \implies c = 2.25$. 3. $f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 24x$. $f''(x) = 12x^2 - 36x + 24 = 12(x-1)(x-2)$. Точки перегиба: $x=1, x=2$. Выпуклость вниз ($f''(x) > 0$) на $(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$, выпуклость вверх ($f''(x) < 0$) на $(1, 2)$. 4. $f'(x) = x^2 - 2x - 3$. $f''(x) = 2x - 2$. Точка перегиба: $2x - 2 = 0 \implies x = 1$. Выпуклость вверх ($f''(x) < 0$) на $(-\infty, 1)$, выпуклость вниз ($f''(x) > 0$) на $(1, +\infty)$.