Через середину M стороны AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне BC. Эта прямая пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что AN = NC.

Это доказательство теоремы Фалеса для треугольника (или частного случая теоремы о средней линии). Дано: $AM = MB$ и $MN \parallel BC$. Нужно доказать: $AN = NC$. Доказательство: 1. Проведем через точку $C$ прямую, параллельную $AB$. Пусть $D$ — точка пересечения этой прямой с прямой $MN$. 2. По построению $MN \parallel BC$ (по условию) и $AB \parallel CD$ (по нашему построению), значит, четырехугольник $MBCD$ — параллелограмм. 3. У параллелограмма противоположные стороны равны, следовательно, $MB = CD$. 4. По условию $M$ — середина $AB$, значит, $AM = MB$. Так как $MB = CD$, то $AM = CD$. 5. Рассмотрим треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle CDN$: - $\angle MAN = \angle DCN$ (как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $AC$); - $\angle AMN = \angle CDN$ (как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $MD$); - $AM = CD$ (доказали в пункте 4). 6. Значит, $\triangle AMN = \triangle CDN$ по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников). 7. Из равенства треугольников следует, что $AN = NC$. Что и требовалось доказать.