x/(x-2) + 8/(4-x^2) - 1/(x+2) = 0

Решим уравнение: $\frac{x}{x-2} + \frac{8}{4-x^2} - \frac{1}{x+2} = 0$ 1. Разложим знаменатель $4-x^2$ на множители: $4-x^2 = (2-x)(2+x) = -(x-2)(x+2)$. Перепишем уравнение: $\frac{x}{x-2} - \frac{8}{(x-2)(x+2)} - \frac{1}{x+2} = 0$ 2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$ ОДЗ: $x \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}$. 3. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$: $\frac{x(x+2) - 8 - 1(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 0$ 4. Так как дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (а знаменатель не равен нулю): $x(x+2) - 8 - 1(x-2) = 0$ $x^2 + 2x - 8 - x + 2 = 0$ $x^2 + x - 6 = 0$ 5. Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$ $x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$ $x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3$ 6. Сверимся с ОДЗ: Корень $x = 2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$), поэтому он является посторонним. Корень $x = -3$ удовлетворяет ОДЗ. Ответ: -3