1. Площадь прямоугольника ABCD равна 15. Найдите сторону BC прямоугольника, если известно, что AB = 3.

Решение задач: 1. Площадь прямоугольника $S = AB \times BC$. Тогда $15 = 3 \times BC$, отсюда $BC = 15 / 3 = 5$. 2. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $14 / 2 = 7$. 3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Пусть углы $4x$ и $5x$. $4x + 5x = 90^\circ$, $9x = 90^\circ$, $x = 10^\circ$. Больший угол равен $5 \times 10^\circ = 50^\circ$. 4. В ромбе $ABCD$ диагонали делят углы пополам и являются биссектрисами. Если $\angle ACD = 25^\circ$, то и $\angle ACB = 25^\circ$. Значит, $\angle C = 50^\circ$. Углы ромба, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180^\circ$. Значит, $\angle ABC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. 5. В условии ошибка: в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 13 и катетом 12, второй катет должен быть $\sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = 5$, а не 8. Если считать по данным $AK=12$ (катет) и $VK=8$ (катет), то $\tan A = VK / AK = 8 / 12 = 2/3$. 6. Фигура является трапецией. Основания: $a = 4$ клетки (верхнее), $b = 6$ клеток (нижнее). Высота $h = 3$ клетки. Площадь: $S = ((a + b) / 2) \times h = ((4 + 6) / 2) \times 3 = 5 \times 3 = 15$ см$^2$. 7. Верные утверждения: 1) Да (в прямоугольном треугольнике катеты являются высотами). 3) Да (в тупоугольном треугольнике). 4) Да ($3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$). Ответ: 1, 3, 4. 8. Так как $ABCD$ — трапеция, то $BC \parallel AD$, поэтому треугольники $BPC$ и $DPA$ подобны по двум углам. Отношение сторон: $AD / BC = PD / BP$. $AD / 3,2 = 15 / 3$. $AD / 3,2 = 5$. $AD = 5 \times 3,2 = 16$.