169. Найдите наибольший общий делитель чисел а и b, если:

### 169. Найдите НОД чисел: Чтобы найти НОД, нужно перемножить общие простые множители, взяв каждый из них с наименьшим показателем степени. a) $a = 3^2 \cdot 5^3 \cdot 7$, $b = 3 \cdot 5^2 \cdot 11$. Общие множители: $3$ и $5^2$. НОД = $3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$. б) $a = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$, $b = 3 \cdot 11 \cdot 13$. Общий множитель: $3$. НОД = $3$. ### 170. Найдите НОД чисел: a) $585$ и $360$: $585 = 5 \cdot 9 \cdot 13 = 3^2 \cdot 5 \cdot 13$ $360 = 10 \cdot 36 = 2 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 3^2 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ НОД = $3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$. б) $680$ и $612$: $680 = 10 \cdot 68 = 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 17 = 2^3 \cdot 5 \cdot 17$ $612 = 2 \cdot 306 = 2^2 \cdot 153 = 2^2 \cdot 9 \cdot 17 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 17$ НОД = $2^2 \cdot 17 = 4 \cdot 17 = 68$. в) $60, 80$ и $48$: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ $80 = 2^4 \cdot 5$ $48 = 2^4 \cdot 3$ НОД = $2^2 = 4$. г) $195, 156$ и $260$: $195 = 5 \cdot 39 = 3 \cdot 5 \cdot 13$ $156 = 2 \cdot 78 = 2^2 \cdot 39 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13$ $260 = 10 \cdot 26 = 2^2 \cdot 5 \cdot 13$ НОД = $13$. ### 171. Докажите, что числа 864 и 875 взаимно простые: Числа взаимно простые, если их НОД равен $1$. Разложим на множители: $864 = 8 \cdot 108 = 2^3 \cdot 2 \cdot 54 = 2^5 \cdot 27 = 2^5 \cdot 3^3$. $875 = 5 \cdot 175 = 5^2 \cdot 35 = 5^3 \cdot 7$. У этих чисел нет общих простых множителей, значит, их НОД = $1$. Числа взаимно простые.