Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр этого параллелограмма, если BK = 15 см, KC = 9 см.

### Решение первой задачи 1. Так как $AK$ — биссектриса, то $\angle BAK = \angle KAD$. 2. Так как $AD \parallel BC$, то $\angle KAD = \angle BKA$ (накрест лежащие углы). 3. Значит, $\angle BAK = \angle BKA$, следовательно, треугольник $ABK$ равнобедренный с основанием $AK$. Значит, $AB = BK = 15$ см. 4. Сторона $BC = BK + KC = 15 + 9 = 24$ см. Противоположная сторона $AD = 24$ см. 5. Сторона $CD = AB = 15$ см. 6. Периметр $P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (15 + 24) = 2 \cdot 39 = 78$ см. **Ответ: 78 см.** ### Решение второй задачи (свойства углов параллелограмма) Свойства: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$, $\angle A + \angle B = 180^\circ$. a) $\angle A = 84^\circ$, $\angle C = 84^\circ$. $\angle B = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$, $\angle D = 96^\circ$. б) $\angle A - \angle B = 55^\circ$ и $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Сложим: $2\angle A = 235^\circ \implies \angle A = 117{,}5^\circ = \angle C$. $\angle B = 180^\circ - 117{,}5^\circ = 62{,}5^\circ = \angle D$. в) $\angle A + \angle C = 142^\circ$. Так как $\angle A = \angle C$, то $2\angle A = 142^\circ \implies \angle A = 71^\circ = \angle C$. $\angle B = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ = \angle D$. г) $\angle A = 2\angle B$. Так как $\angle A + \angle B = 180^\circ$, то $2\angle B + \angle B = 180^\circ \implies 3\angle B = 180^\circ \implies \angle B = 60^\circ = \angle D$. $\angle A = 120^\circ = \angle C$. д) $\angle CAD = 16^\circ$, $\angle ACD = 37^\circ$. В треугольнике $ACD$: $\angle D = 180^\circ - (16^\circ + 37^\circ) = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ = \angle B$. $\angle A = \angle CAD + \angle CAB$. Так как $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD = 16^\circ$. Тогда $\angle C = \angle ACD + \angle BCA = 37^\circ + 16^\circ = 53^\circ = \angle A$.