Синус угла прямоугольного треугольника равен 0,4. В каком отношений делит его гипотенузу высота, опущенная из прямого угла?

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $\sin A = 0,4$. Проведена высота $CH$ к гипотенузе $AB$. Требуется найти отношение отрезков $AH : HB$ или $HB : AH$. 1. В прямоугольном треугольнике высота, проверенная из прямого угла, разбивает его на два треугольника ($ACH$ и $CBH$), подобные исходному. 2. Из подобия треугольников $ACH$ и $CBH$ следует отношение: $\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{HB}$. 3. Также известно свойство: катеты относятся как проекции этих катетов на гипотенузу в квадрате. А именно: $\frac{AH}{HB} = \frac{AC^2}{BC^2}$. 4. Найдем отношение катетов через синус угла $A$: $\sin A = 0,4 = \frac{BC}{AB} \Rightarrow BC = 0,4 \cdot AB$. 5. По основному тригонометрическому тождеству: $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - 0,16} = \sqrt{0,84}$. $\cos A = \frac{AC}{AB} \Rightarrow AC = \sqrt{0,84} \cdot AB$. 6. Находим отношение проекций (частей гипотенузы): $\frac{AH}{HB} = \left( \frac{AC}{BC} \right)^2 = \frac{(\sqrt{0,84} \cdot AB)^2}{(0,4 \cdot AB)^2} = \frac{0,84}{0,16} = \frac{84}{16} = \frac{21}{4} = 5,25$. **Ответ: 21 : 4 (или 5,25 : 1)**.