На рисунке 20 $\angle EAC + \angle CAD + \angle FAD = 290^\circ$. Найдите углы $EAF$ и $FAD$.

Для решения задач по геометрии используем свойства смежных и вертикальных углов. ### Задача 45 На рисунке 20 прямые пересекаются в точке A. Углы $\angle EAC$ и $\angle FAD$ — вертикальные, значит $\angle EAC = \angle FAD$. Углы $\angle EAC$ и $\angle CAD$ — смежные, их сумма $180^\circ$. Дано: $\angle EAC + \angle CAD + \angle FAD = 290^\circ$. Так как $\angle EAC = \angle FAD$, то $2 \cdot \angle EAC + \angle CAD = 290^\circ$. Так как $\angle EAC + \angle CAD = 180^\circ$, то $\angle CAD = 180^\circ - \angle EAC$. Подставим: $2 \cdot \angle EAC + (180^\circ - \angle EAC) = 290^\circ$ $\angle EAC = 290^\circ - 180^\circ = 110^\circ$. Тогда $\angle FAD = 110^\circ$ (как вертикальный). Ответ: $110^\circ$, $110^\circ$. ### Задача 46 Пусть один угол равен $x$. Тогда смежный с ним угол равен $180^\circ - x$. По условию $x = 7(180^\circ - x)$. $x = 1260^\circ - 7x$ $8x = 1260^\circ$ $x = 157,5^\circ$. Ответ: $157,5^\circ$. ### Задача 47 На рисунке 21 три прямые пересекаются в точке. Углы 1, 2 и 3 — это углы, образованные при пересечении. Сумма всех углов вокруг точки равна $360^\circ$. Угол 1 является вертикальным к углу, образованному суммой углов 2 и 3, но здесь углы расположены иначе. По рисунку видно, что $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$ (развернутый угол). Так как $\angle 2 + \angle 3 = 142^\circ$, то $\angle 1 = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$. Ответ: $38^\circ$. ### Задача 48 На рисунке 22: $\angle ADC$ и $\angle CDE$ — смежные, $\angle CEF$ и $\angle CED$ — смежные. $\angle ADC = 180^\circ - \angle CDE$, $\angle CEF = 180^\circ - \angle CED$. Дано: $\angle ADC = \angle CEF$. Значит, $180^\circ - \angle CDE = 180^\circ - \angle CED$, откуда $\angle CDE = \angle CED$. Что и требовалось доказать. ### Задача 49 Пусть биссектриса делит $\angle ABC$ на два равных угла по $\alpha$. Тогда $\angle ABC = 2\alpha$. Луч, дополнительный к стороне $BA$, образует развернутый угол $180^\circ$ с $BA$. Угол между биссектрисой и этим лучом равен $180^\circ - \alpha = 124^\circ$. $\alpha = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$. Тогда $\angle ABC = 2 \cdot 56^\circ = 112^\circ$. Ответ: $112^\circ$. ### Задача 50 Угол равен $54^\circ$. Биссектриса делит его на два угла по $27^\circ$. Угол между биссектрисой и лучом, дополнительным к одной из сторон (угол $180^\circ$ с этой стороной), равен $180^\circ - 27^\circ = 153^\circ$. Ответ: $153^\circ$. ### Задача 51 На рисунке 23: $\angle FOE$ — биссектриса $\angle FOD$. Если $\angle FOE = 42^\circ$, то $\angle FOD = 2 \cdot 42^\circ = 84^\circ$. Прямые $AD$ и $CF$ пересекаются. $\angle BOD$ и $\angle AOF$ — вертикальные. $\angle AOF = \angle AOC + \angle COF$. По рисунку $\angle BOD = \angle AOC$. $\angle AOC + \angle COD = 180^\circ$. $\angle COD = \angle COF + \angle FOD = \angle COF + 84^\circ$. $\angle AOC = \angle FOD$ (вертикальные) $= 84^\circ$. Ответ: $84^\circ$.