20. ТЕСТ 1) Сумма градусных мер углов выпуклого n-угольника равна 1260°. Найдите число сторон этого многоугольника

20. ТЕСТ 1) Сумма углов n-угольника вычисляется по формуле: 180° * (n - 2) = 1260°. Разделим на 180°: n - 2 = 7, откуда n = 9. Ответ: 9 сторон. 2) Сумма углов выпуклого n-угольника равна 2340°. 180° * (n - 2) = 2340°. n - 2 = 13, n = 15. Периметр = 15 * 3,2 см = 48 см. Ответ: 48 см. 3) Пусть сумма остальных углов равна S. Сумма углов пятиугольника равна 180° * (5 - 2) = 540°. Обозначим искомый угол за x. Тогда x + S = 540°, где x = 0,2 * S. Подставим: 0,2 * S + S = 540°, 1,2 * S = 540°, S = 450°. Тогда x = 0,2 * 450° = 90°. Ответ: 90°. 4) Сумма углов n-угольника 180° * (n - 2) = 3060°. n - 2 = 17, n = 19. Из одной вершины можно провести (n - 3) диагонали, которые разбивают n-угольник на (n - 2) треугольников. 19 - 2 = 17. Ответ: 17 треугольников. 5) Сумма углов n-угольника = 180°(n-2). Сумма углов (n-1)-угольника = 180°(n-3). По условию: 180°(n-2) = k * 180°(n-3). Значит, k = (n-2)/(n-3) = 1 + 1/(n-3). Так как k — натуральное число, то (n-3) должно быть делителем 1. n-3 = 1, значит n = 4. Тогда k = (4-2)/(4-3) = 2/1 = 2. Ответ: k = 2. 21. 1) а) Угол BAC = 30°, угол ACD = 30°. Они накрест лежащие при прямых AB и CD и секущей AC. Значит, AB || CD. б) Угол MNK = 70°, угол NKP = 70°. Это накрест лежащие углы при прямых MN и KP и секущей NK. Значит, MN || KP. 2) В треугольнике MBN: сумма углов = 180°. Угол MNB = 180° - 60° - 70° = 50°. Угол ANB = 180° - 50° = 130° (смежный). Так как AM = BM (равнобедренный, углы при основании M, B равны 60°, значит MBN - равносторонний: MB=MN=BN), а по условию NC = BN, то NC = MN. Треугольник BNC: равнобедренный (BN = NC), угол BNC = 180° - 50° = 130°. Углы при основании: (180° - 130°) / 2 = 25°. Угол ABC = угол ABM + угол MBC. Угол ABM = 180° - 60° - 60° = 60°. Угол MBC = 25°. Всего 60° + 25° = 85°. 22. 1) Число диагоналей = n(n-3)/2. Приравниваем: n(n-3)/2 = n. n(n-3) = 2n. n^2 - 3n - 2n = 0. n^2 - 5n = 0. n = 5. (Пятиугольник). 2) n(n-3)/2 < n. n-3 < 2, n < 5. Многоугольник не существует (n ≥ 3). Нет. 3) n(n-3)/2 > n. n-3 > 2, n > 5. Существует для любого n > 5. 23. Сумма углов пятиконечной звезды равна 180°. (Каждый из углов при вершинах равен сумме углов треугольников, не содержащих этот угол).