В четырехугольнике ABCD: AB || CD, BC || AD, AC = 20 см, BD = 10 см, AB = 13 см. Найдите периметр Δ COD.

1. В четырехугольнике ABCD стороны попарно параллельны (AB || CD, BC || AD), значит, это параллелограмм. Диагонали параллелограмма точкой пересечения O делятся пополам: AO = OC, BO = OD. Дано: AC = 20 см, BD = 10 см, AB = 13 см. Находим отрезки: $OC = AC : 2 = 20 : 2 = 10$ см. $OD = BD : 2 = 10 : 2 = 5$ см. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, $CD = AB = 13$ см. Периметр треугольника COD равен сумме сторон: $P_{COD} = OC + OD + CD = 10 + 5 + 13 = 28$ см. Ответ: 28 см. 2. Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. Проведен перпендикуляр BK к AD, где $BK = AB : 2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK (угол K = 90°). В нем катет $BK = 1/2 \cdot AB$ (так как $BK = AB : 2$). Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, $\angle A = 30°$. В параллелограмме противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. $\angle C = \angle A = 30°$. $\angle D = 180° - \angle A = 180° - 30° = 150°$. Ответ: 30°, 150°. 3. Дано: середина отрезка BD является центром окружности с диаметром AC. Точки A, B, C, D не лежат на одной прямой. Пусть O — середина BD и центр окружности. Так как AC — диаметр окружности, то O — середина AC. Диагонали четырехугольника ABCD (AC и BD) точкой пересечения O делятся пополам. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Что и требовалось доказать.