1. В треугольнике ABC угол C – тупой. Сравните стороны AB и BC.

Допущение: в задании 2 пропущенные элементы — это сторона KT и угол K (или переменная для косинуса). 1. В треугольнике ABC против большего угла лежит большая сторона. Так как угол C — тупой, он является наибольшим углом в треугольнике (так как сумма углов треугольника 180°, а другие два угла обязательно острые). Следовательно, сторона AB, лежащая против угла C, является наибольшей стороной. Значит, AB > BC. 2. По теореме косинусов для треугольника KHT: $KH^2 = HT^2 + KT^2 - 2 \cdot HT \cdot KT \cdot \cos T$. 3. Чтобы найти сторону DO в треугольнике CDO по теореме косинусов, зная стороны CD и CO, необходимо знать величину угла C (угол между сторонами CD и CO). 4. Дано: треугольник DEF, DE = 10, ∠D = 60°, ∠F = 45°. Найти EF. По теореме синусов: $\frac{DE}{\sin F} = \frac{EF}{\sin D}$. $\frac{10}{\sin 45°} = \frac{EF}{\sin 60°}$ $EF = \frac{10 \cdot \sin 60°}{\sin 45°} = \frac{10 \cdot (\sqrt{3}/2)}{\sqrt{2}/2} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{6} \approx 12,25$. 5. В треугольнике CKE: CK = 6, KE = 8, ∠K = 60°. Найти CE. По теореме косинусов: $CE^2 = CK^2 + KE^2 - 2 \cdot CK \cdot KE \cdot \cos K$. $CE^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 36 + 64 - 96 \cdot 0,5 = 100 - 48 = 52$. $CE = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7,21$.