Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2 и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую – Дима, третью – снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать?

Пусть $n=19$ — количество цифр в числе. Дима может помешать Роме. Разберем признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. В распоряжении мальчиков цифры: 1, 2, 4. Заметим их остатки при делении на 3: - 1 дает остаток 1. - 2 дает остаток 2. - 4 дает остаток 1. Таким образом, Рома и Дима всегда могут выбрать либо число с остатком 1 (выбрав 1 или 4), либо число с остатком 2 (выбрав 2). Рома делает 10 ходов (1-я, 3-я, ..., 19-я цифры), а Дима — 9 ходов (2-я, 4-я, ..., 18-я цифры). Дима может придерживаться такой стратегии: на каждом своем ходу он выбирает цифру 2, если сумма всех уже написанных цифр (включая его текущий ход) не дает остаток 0 при делении на 3, или цифру 1, если остаток дает 0. Фактически, у Димы всегда есть возможность "сдвинуть" текущую сумму так, чтобы она не стала кратной 3 на последнем, 19-м шаге. Поскольку Рома ходит первым и последним, но Дима делает достаточно ходов, чтобы перекрыть попытки Ромы манипулировать остатком суммы. Проще говоря, Дима может выбирать такие цифры, чтобы сумма всех 19 цифр не делилась на 3, независимо от того, что пишет Рома. Ответ: Да, Дима может помешать Роме.