38. Известно, что f(x) = x^8 + ax^4 + 1 и f(2) = 305. Найдите f(-2) и значение коэффициента a.

38. Допущение: $f(x) = x^8 + ax^4 + 1$. Находим $a$ из условия $f(2) = 305$: $2^8 + a \cdot 2^4 + 1 = 305$ $256 + 16a + 1 = 305$ $16a = 305 - 257$ $16a = 48 \implies a = 3$. Так как $f(x) = x^8 + 3x^4 + 1$, то функция четная, значит $f(-2) = f(2) = 305$. Ответ: $a = 3$, $f(-2) = 305$. 39. Допущение: $g(x) = \frac{15552}{x^5} + bx^3$. Находим $b$ из $g(3) = 16$: $\frac{15552}{243} + b \cdot 27 = 16$ $64 + 27b = 16$ $27b = -48 \implies b = -\frac{48}{27} = -\frac{16}{9}$. Функция $g(x) = \frac{15552}{x^5} - \frac{16}{9}x^3$ нечетная, так как $g(-x) = \frac{15552}{(-x)^5} - \frac{16}{9}(-x)^3 = -\left(\frac{15552}{x^5} - \frac{16}{9}x^3\right) = -g(x)$. Следовательно, $g(-3) = -g(3) = -16$. Ответ: $b = -\frac{16}{9}$, $g(-3) = -16$. 40. Линейная функция $y = kx + b$. а) Четная: $f(-x) = f(x) \implies k(-x) + b = kx + b \implies -kx = kx \implies 2kx = 0$. Это верно для любого $x$ только при $k = 0$ (функция $y = b$). б) Нечетная: $f(-x) = -f(x) \implies k(-x) + b = -(kx + b) \implies -kx + b = -kx - b \implies 2b = 0 \implies b = 0$ (функция $y = kx$). в) Четная и нечетная: $f(x) = -f(x)$ и $f(x) = f(-x)$, что возможно только при $f(x) = 0$ (т.е. $k = 0, b = 0$). 41. Функция $f$ четная ($f(-x) = f(x)$), значит график симметричен относительно оси $Oy$. Достройте графики для $x < 0$ зеркально относительно $Oy$. 42. Функция $g$ нечетная ($g(-x) = -g(x)$), значит график симметричен относительно начала координат (поворот на $180^\circ$ вокруг $(0,0)$). Достройте графики для $x < 0$ симметрично относительно начала координат.