24. В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники А1В1С и АВС подобны.

Доказательство подобия треугольников $A_1B_1C$ и $ABC$: 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AA_1C$ и $\triangle BB_1C$. 2. У них есть общий угол $C$ (угол $C$ — тупой, высоты опущены на продолжения сторон, но для подобия это не меняет сути). 3. Так как $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$, то $\triangle AA_1C$ подобен $\triangle BB_1C$ по двум углам (общий угол $C$ и прямые углы $\angle AA_1C = \angle BB_1C = 90^\circ$). 4. Из подобия следует отношение сторон: $\frac{AC}{BC} = \frac{A_1C}{B_1C}$. Переставим члены пропорции: $\frac{AC}{A_1C} = \frac{BC}{B_1C}$. 5. Теперь рассмотрим $\triangle A_1B_1C$ и $\triangle ABC$: - У них общий угол $C$. - Отношение прилежащих к углу $C$ сторон равно: $\frac{AC}{A_1C} = \frac{BC}{B_1C}$ (доказано в п. 4). 6. Следовательно, треугольники $A_1B_1C$ и $ABC$ подобны по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.