Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение sqrt(x^2 - a^2) = sqrt(4x^2 - (4a + 2)x + 2a) на отрезке [0; 1] имеет ровно один корень.

Для того чтобы уравнение $\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{4x^2 - (4a+2)x + 2a}$ имело корни, должны выполняться условия: 1. Подкоренные выражения неотрицательны: $x^2 - a^2 \ge 0$ и $4x^2 - (4a+2)x + 2a \ge 0$. 2. Возведем в квадрат: $x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a+2)x + 2a$ $3x^2 - (4a+2)x + 2a + a^2 = 0$ Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант: $D = (4a+2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2a + a^2) = 16a^2 + 16a + 4 - 24a - 12a^2 = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a-1)^2$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{4a+2 \pm 2(a-1)}{6} = \frac{4a+2 \pm (2a-2)}{6}$ $x_1 = \frac{6a}{6} = a$ $x_2 = \frac{2a+4}{6} = \frac{a+2}{3}$ Теперь проверим условие $x^2 - a^2 \ge 0$: Для $x_1 = a$: $a^2 - a^2 = 0 \ge 0$ (верно). Для $x_2 = \frac{a+2}{3}$: $(\frac{a+2}{3})^2 - a^2 \ge 0 \implies \frac{a^2+4a+4-9a^2}{9} \ge 0 \implies -8a^2+4a+4 \ge 0 \implies 2a^2-a-1 \le 0$. Корни $2a^2-a-1=0$ это $a_1=1, a_2=-1/2$. Значит, $a \in [-0.5; 1]$. Теперь нужно, чтобы ровно один корень попадал в отрезок $[0; 1]$: - Случай 1: $x_1 = a \in [0; 1]$ и $x_2 \notin [0; 1]$. $a \in [0; 1]$. При $a \in [0; 1]$ корень $x_2 = \frac{a+2}{3}$ принимает значения от $\frac{2}{3}$ до $1$. То есть $x_2$ тоже лежит в $[0; 1]$. Чтобы был ровно один корень, они должны совпадать: $x_1 = x_2 \implies a = \frac{a+2}{3} \implies 3a = a+2 \implies a=1$. При $a=1$ оба корня $x_1=1, x_2=1$. Это один корень. - Случай 2: $x_1 \notin [0; 1]$ и $x_2 \in [0; 1]$. $x_1=a$. Если $a < 0$ или $a > 1$, то $x_1$ вне отрезка. Проверим $x_2 \in [0; 1]$ для таких $a$. Так как мы ограничились $a \in [-0.5; 1]$ (из ОДЗ), то $a \in [-0.5; 0)$. Если $a \in [-0.5; 0)$, то $x_1 < 0$ (не подходит). $x_2 = \frac{a+2}{3}$. При $a=-0.5$, $x_2 = \frac{1.5}{3} = 0.5$. При $a=0$, $x_2 = \frac{2}{3}$. То есть при $a \in [-0.5; 0)$, $x_2 \in [0.5; 2/3) \subset [0; 1]$. Это дает один корень. Ответ: $a \in [-0.5; 0) \cup \{1\}$.