Докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.

Решение задач: 24. Доказательство: Пусть в параллелограмме ABCD все углы равны. Сумма углов четырехугольника равна 360°. Так как в параллелограмме противолежащие углы равны (∠A=∠C, ∠B=∠D), то $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 2(\angle A + \angle B) = 360^\circ$. Значит, $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Поскольку все углы равны, то $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 360^\circ / 4 = 90^\circ$. Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником. 25. Доказательство: Если в параллелограмме один угол прямой (например, 90°), то соседний с ним угол равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Противоположные углы также будут равны 90°. Так как все углы прямые, это прямоугольник. 26. Доказательство: В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Если диагонали равны ($AC=BD$), то такой параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника: параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник). 27. Ответ: Чтобы проверить, является ли плита прямоугольной, нужно измерить ее диагонали. Если они равны, то плита прямоугольная. 28. Решение: Пусть $ABCD$ — прямоугольник, $AC$ — биссектриса угла $A$. Биссектриса делит угол $90^\circ$ пополам: $\angle BAC = \angle CAD = 45^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABC$. $\angle BAC = 45^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, значит $\angle BCA = 45^\circ$. Треугольник $ABC$ равнобедренный, $AB = BC = 10$ см. Стороны прямоугольника: 10 см и 10 см (это квадрат). Периметр: $P = 2 \cdot (10 + 10) = 40$ см. 29. Решение: Пусть меньшая сторона $a = x$ см, тогда большая сторона $b = x + 4$ см. Периметр $P = 2(a + b) = 56$. $2(x + x + 4) = 56$ $2(2x + 4) = 56$ $4x + 8 = 56$ $4x = 48$ $x = 12$. Меньшая сторона 12 см, большая $12+4=16$ см.