5.16. Ребро правильного тетраэдра DABC равно a, точки M, K и P – соответственно середины рёбер AB, AD и CD. Найдите скалярное произведение векторов:

5.16. Для правильного тетраэдра DABC с ребром a, угол между любыми двумя скрещивающимися ребрами равен 60°, а между смежными — 60°. Скалярное произведение $\vec{x} \cdot \vec{y} = |x||y|\cos\phi$. Углы между ребрами тетраэдра равны 60°. 1) $\vec{AD} \cdot \vec{DC} = a \cdot a \cdot \cos(120^\circ) = a^2 \cdot (-0.5) = -0.5a^2$. 2) $\vec{MK} \cdot \vec{DA}$. $\vec{MK} = \vec{AK} - \vec{AM} = 0.5\vec{AD} - 0.5\vec{AB}$. $\vec{MK} \cdot \vec{DA} = (0.5\vec{AD} - 0.5\vec{AB}) \cdot (-\vec{AD}) = -0.5\vec{AD}^2 + 0.5(\vec{AB} \cdot \vec{AD}) = -0.5a^2 + 0.5(a^2 \cdot 0.5) = -0.5a^2 + 0.25a^2 = -0.25a^2$. 3) $\vec{PK} \cdot \vec{BC}$. $\vec{PK} = \vec{PK} = 0.5\vec{DA} - 0.5\vec{DC} = 0.5(\vec{DA} - \vec{DC}) = 0.5\vec{CA}$. $\vec{PK} \cdot \vec{BC} = 0.5\vec{CA} \cdot \vec{BC} = 0.5(\vec{BA} - \vec{BC}) \cdot \vec{BC} = 0.5(\vec{BA} \cdot \vec{BC} - \vec{BC}^2) = 0.5(a^2 \cdot 0.5 - a^2) = 0.5(-0.5a^2) = -0.25a^2$. 4) $\vec{CD} \cdot \vec{PM}$. $\vec{PM} = 0.5\vec{DA} + 0.5\vec{DB}$. $\vec{CD} \cdot \vec{PM} = 0.5\vec{CD} \cdot \vec{DA} + 0.5\vec{CD} \cdot \vec{DB} = 0.5(-\vec{DC} \cdot \vec{DA}) + 0.5(-\vec{DC} \cdot \vec{DB}) = 0.5(-a^2 \cdot 0.5) + 0.5(-a^2 \cdot 0.5) = -0.25a^2 - 0.25a^2 = -0.5a^2$. 5.17. В кубе углы между ребрами либо 0°, либо 90°, либо 180°. 1) $\vec{AA_1} \cdot \vec{DC_1} = 0$ (векторы ортогональны). 2) $\vec{AB_1} \cdot \vec{C_1D} = 0$ (векторы ортогональны). 3) $\vec{BA} \cdot \vec{C_1C} = 0$ (векторы ортогональны). 4) $\vec{EF} \cdot \vec{DC}$. $\vec{EF} = \vec{AF} - \vec{AE} = 0.5\vec{AD} - 0.5\vec{AB}$. $\vec{EF} \cdot \vec{DC} = (0.5\vec{AD} - 0.5\vec{AB}) \cdot \vec{DC}$. Так как $\vec{AB} \perp \vec{DC}$, то $\vec{AB} \cdot \vec{DC} = 0$. $\vec{EF} \cdot \vec{DC} = 0.5(\vec{AD} \cdot \vec{DC}) = 0$. (так как $\vec{AD} \perp \vec{DC}$). Ответ: 0. 5.18. 1) $\vec{CM} \cdot \vec{DC} = (\vec{CA} + \vec{AM}) \cdot \vec{DC} = (\vec{CA} + 0.5\vec{AB}) \cdot \vec{DC} = \vec{CA} \cdot \vec{DC} + 0.5\vec{AB} \cdot \vec{DC} = |\vec{CA}||\vec{DC}|\cos(60^\circ) + 0 = a^2 \cdot 0.5 = 0.5a^2$. 2) $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot (-\vec{DC}) = -(\vec{AB} \cdot \vec{DC}) = -a^2\cos(60^\circ) = -0.5a^2$. 5.19. $\vec{AM} \cdot \vec{AC} = |\vec{AM}||\vec{AC}|\cos(30^\circ) = a \cdot (a\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = a^2 \cdot 1.5 = 1.5a^2$.