В параллелограмме ABCD AB = 6 см, AD = 4 см. Биссектрисы углов A и D пересекают прямую BC в точках N и M соответственно. Найдите длину отрезка MN (см. рис. 1).

Question

Вопрос:

В параллелограмме ABCD AB = 6 см, AD = 4 см. Биссектрисы углов A и D пересекают прямую BC в точках N и M соответственно. Найдите длину отрезка MN (см. рис. 1).

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

1. Рассмотрим $\triangle ABN$. Так как $AN$ — биссектриса $\angle A$, то $\angle BAN = \angle NAD$. Так как $BC \parallel AD$, то $\angle NAD = \angle ANB$ (накрест лежащие углы). Значит, $\angle BAN = \angle ANB$, и $\triangle ABN$ — равнобедренный с основанием $AN$. Следовательно, $BN = AB = 6$ см. 2. Рассмотрим $\triangle DCM$. Аналогично, так как $DM$ — биссектриса $\angle D$, то $\angle CDM = \angle MDA$. Так как $BC \parallel AD$, то $\angle MDA = \angle DMC$. Значит, $\angle CDM = \angle DMC$, и $\triangle DCM$ — равнобедренный с основанием $DM$. Следовательно, $MC = CD = AB = 6$ см. 3. Отрезок $MN = MC + CN$. Заметим, что $BC = 4$ см, значит $BN + NC = 4$ см. Мы знаем $BN = 6$, значит $NC = 4 - 6 = -2$, что невозможно геометрически (точки расположены иначе, $N$ лежит на продолжении $BC$). На самом деле, точки $M$ и $N$ лежат на прямой $BC$ так, что $MC = CD = 6$, а $BN = AB = 6$. Отрезок $MN = MC + CN$. Так как $MC = 6$ см, а $BN = 6$ см и $BC = 4$ см, то $NC = BN - BC = 6 - 4 = 2$ см. Тогда $MN = MC + CN = 6 + 2 = 8$ см. Ответ: 8 см.

В параллелограмме ABCD AB = 6 см, AD = 4 см. Биссектрисы углов A и D пересекают прямую BC в точках N и M соответственно. Найдите длину отрезка MN (см. рис. 1).

Ответ ассистента

Другие решения