В треугольнике ABC с тупым углом ABC проведены высоты AA1 и CC1. Докажите, что треугольники A1BC1 и ABC подобны.

Для доказательства подобия треугольников $A_1BC_1$ и $ABC$ воспользуемся определением подобия по двум углам. 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1C$ и $CC_1A$. Поскольку $AA_1$ и $CC_1$ — высоты, углы $\angle AA_1C = 90^\circ$ и $\angle CC_1A = 90^\circ$. 2. Заметим, что в треугольнике $ABC$ (с тупым углом $B$) высоты $AA_1$ и $CC_1$ опускаются на продолжения сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Точки $A_1$ лежат на продолжении $BC$, а $C_1$ — на продолжении $AB$. 3. Рассмотрим треугольники $AA_1B$ и $CC_1B$. Они прямоугольные ($\angle AA_1B = 90^\circ$, $\angle CC_1B = 90^\circ$). У них есть общий острый угол при вершине $B$. 4. Из подобия прямоугольных треугольников с общим углом следует, что отношение катетов пропорционально: $\frac{BA_1}{BC_1} = \frac{BA}{BC}$. 5. Перегруппируем это равенство: $\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC}$. 6. Рассмотрим треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$. У них общий угол $\angle B$, и отношение прилежащих к этому углу сторон пропорционально: $\frac{BA_1}{BA} = \frac{BC_1}{BC}$. Следовательно, треугольники $A_1BC_1$ и $ABC$ подобны по двум сторонам и углу между ними.