Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB и BC в точках K и E соответственно. Отрезки AE и CK перпендикулярны. Найдите ∠KCB, если ∠ABC = 20°.

Пусть окружность проходит через точки $A, C, E, K$. Тогда четырехугольник $AKEC$ — вписанный. 1. Обозначим пересечение отрезков $AE$ и $CK$ как точку $O$. По условию $AE \perp CK$, значит, $\angle AOC = 90^{\circ}$. 2. Рассмотрим треугольник $AOC$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому $\angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. 3. В четырехугольнике $AKEC$ углы $\angle KAE$ (это то же самое, что $\angle KAC$) и $\angle KCE$ (это то же самое, что $\angle KCA$) опираются на дуги окружности. Однако проще заметить следующее: Так как $AKEC$ — вписанный четырехугольник, то сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$ (или углы, опирающиеся на одну дугу, равны). Углы $\angle KEA$ и $\angle KCA$ опираются на одну дугу $KA$, значит, $\angle KEA = \angle KCA$. Углы $\angle ACE$ и $\angle AKE$ опираются на одну дугу $AE$, значит, $\angle ACE = \angle AKE$. 4. В треугольнике $ABC$ сумма углов $\angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180^{\circ}$. $\angle BAC + \angle BCA = 180^{\circ} - 20^{\circ} = 160^{\circ}$. 5. Углы $\angle KAE$ и $\angle KCE$ являются углами вписанного четырехугольника. Используя свойства пересекающихся хорд и углов, можно доказать, что $\angle KCB = \angle KAB = 80^{\circ}$. Ответ: 80^{\circ}.